2 2 次の場合

まず $n=2$ の 2 次の正方行列の場合を考えてみる。

$$A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right], \hspace{1zw} B=\left[\begin{array}{cc}x&y\\ z&w\end{array}\right]$$

とすると、

$$\begin{eqnarray*}AB &=& \left[\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right]\l... ...left[\begin{array}{cc}ax+cy&bx+dy\\ az+cw&bz+dw\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

なので、$A$ と $B$ が可換であることは、

$$bz = cy$$ (1)

$$(a-d)y = b(x-w)$$ (2)

$$(a-d)z = c(x-w)$$ (3)

が成り立つことと同値となる。 これを場合分けして考えていくが、本節の目標は、$B$ が $A$ の 1 次式

  $$B = pA + qE$$ (4)

の形で表されるかどうかを示すことである。

1. $b\neq 0$ かつ $a\neq d$ の場合

   この場合、(2) より

     $$y =\frac{b}{a-d}\,(x-w)$$ (5)
   となり、 よって (1), (5) より
     $$z =\frac{c}{b}\,y =\frac{c}{a-d}\,(x-w)$$ (6)
   となり $y$, $z$ を $x$, $w$ で表せる。 そして (6) が (3) が 得られるので、 この場合は (5), (6) を 満たすことが $A$ と $B$ が可換であることと同値となる。

   そして、この場合 $B$ は、

   $$\begin{eqnarray*}B &=& \left[\begin{array}{cc}x&y\\ z&w\end{array}\right] \ ... ...w}{a-d}\,(A-dE) \ =\ \frac{x-w}{a-d}\,A + \frac{aw-dx}{a-d}\,E\end{eqnarray*}$$
   となって確かに $B$ が $A$ の 1 次式 (4) の 形になることがわかる。

2. $b\neq 0$ かつ $a=d$ の場合

   この場合 (1), (2), (3) は
   

   $$z = \frac{c}{b}\,y$$ (7)

   $$b(x-w) = 0$$ (8)

   $$c(x-w) = 0$$ (9)

   となる。$b\neq 0$ なので、(8) より
     $$x=w$$ (10)
   となり、(9) は自然に成り立つ。 よってこの場合は、 (7) と (10) が 可換の条件となる。 この場合、
   $$A = \left[\begin{array}{cc}a&b\\ c&a\end{array}\right] = aE + \left[\begin{array}{cc}0&b\\ c&0\end{array}\right]$$
   であり、$B$ は (7), (10) より、
   $$\begin{eqnarray*}B &=& \left[\begin{array}{cc}x&y\\ \displaystyle \frac{c}{b}\... ...+\frac{y}{b}\,(A-aE) \\ &=& \frac{y}{b}\,A + \frac{bx-ay}{b}\,E\end{eqnarray*}$$
   なので、やはり (4) の形となる。

3. $b=0$ かつ $a\neq d$ の場合

   この場合は (2) より

     $$y=0$$ (11)
   となり、また (1) は両辺 0 になり、 (3) は
     $$z = \frac{c}{a-d}\,(x-w)$$ (12)
   となるので、この (11), (12) が 可換の条件となる。この場合 $A$ は、
   $$A = \left[\begin{array}{cc}a&0\\ c&d\end{array}\right]$$
   で、$B$ は、(11), (12) より
   $$\begin{eqnarray*}B &=& \left[\begin{array}{cc}x&0\\ \displaystyle \frac{c}{a-d... ...x-w}{a-d}\,(A-dE) \ =\ \frac{x-w}{a-d}\,A+\frac{aw-dx}{a-d}\,E\end{eqnarray*}$$
   となり (4) の形となる。

4. $b=0$ かつ $a=d$ の場合

   この場合、(1) より $cy=0$ となるが、 $c=0$ だと $b=0$, $a=d$ より $A=aE$ となって仮定に反する。 よって $c\neq 0$ で、

     $$y=0$$ (13)
   となり、(2) は両辺 0 になり、 また (3) は $c\neq 0$ より
     $$x=w$$ (14)
   となる。この (13), (14) が 可換の条件となる。この場合、
   $$A = \left[\begin{array}{cc}a&0\\ c&a\end{array}\right] = aE + c\left[\begin{array}{cc}0&0\\ 1&0\end{array}\right]$$
   で $c\neq 0$, (13), (14) より、
   $$\begin{eqnarray*}B &=& \left[\begin{array}{cc}x&0\\ z&x\end{array}\right] \ =... ... + \frac{z}{c}(A-aE) \\ &=& \frac{z}{c}\,A + \frac{cx-az}{c}\,E\end{eqnarray*}$$
   となり (4) の形となる。

以上をまとめると、 $n=2$ で $A\neq kE$, $A\neq O$ の場合は、 確かに $A$, $B$ が可換になるのは $B$ が $A$ の 1 次式の場合である ことが示されたことになる。