5 一般項の決定

ここまで、ケイリー・ハミルトンの公式を利用して、 $A^n$

の次数を下げて計算する逐次計算を見てきたが、 2 次の正方行列の場合には、その係数 $p_n$

の一般項を初等的に求めることもできる。

それは、 $p_n$ , $q_n$ に関する漸化式を解く方法でも求めることはできるが、ここではケイリー・ハミルトンの公式から考えてみることにする。

固有多項式のゼロ点を求める方程式

$\displaystyle f_A(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) = 0$ (10)

を固有方程式と呼ぶ。この固有方程式の解によって場合分けして考える。

まず、(10) が 2 つの実数解 $\alpha,\beta$ ( $\alpha\neq\beta$ ) を持つときを考える。この場合、 $f_A(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解され、 $f_A(A)=0$ であるから、

$\displaystyle (A-\alpha E)(A-\beta E)=O$ (11)

が成り立つことになる。ただし、行列の場合には、ここから $A=\alpha E,\beta E$ が言えるわけではない。 (11) を半分展開すると、

$\displaystyle A(A-\beta E)-\alpha E(A-\beta E)=O$

となるから

$\displaystyle A(A-\beta E)=\alpha(A-\beta E)$ (12)

が得られる。同様に $A-\beta E$ の方を半分展開すると、

$\displaystyle A(A-\alpha E)=\beta(A-\alpha E)$ (13)

となる。 (12) の左から $A$

倍すると、

$\displaystyle A^2(A-\beta E)=\alpha A(A-\beta E)$

となるので、再び (12) を用いれば、

$\displaystyle A^2(A-\beta E)=\alpha^2(A-\beta E)$

となる。これを繰り返すと、すべての $n\geq 1$ に対して

$\displaystyle A^{n-1}(A-\beta E)=\alpha^{n-1}(A-\beta E)$ (14)

となることがわかる。同様に、(13) を用いれば、

$\displaystyle A^{n-1}(A-\alpha E)=\beta^{n-1}(A-\alpha E)$ (15)

が得られる。 (14) の $\alpha$ 倍から (15) の $\beta$ 倍を引けば、

$\displaystyle (\alpha-\beta)A^n=(\alpha^n-\beta^n)A - (\alpha^n\beta-\alpha\beta^n)E$

となるので、 $\alpha\neq\beta$ より、

$\displaystyle A^n = \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}A -\frac{\alpha^n\be... ...\alpha^n\frac{A-\beta E}{\alpha-\beta} +\beta^n\frac{A-\alpha E}{\beta-\alpha}$ (16)

のように書け、

の一般項が得られることになる。

例えば、3 節の (3) の $A$ の場合、

$\displaystyle f_A(x) = x^2-(a+d)x+(ad-bc) = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

なので、 $\alpha=-1$ , $\beta=-2$ で、よって (16) より

$\begin{eqnarray*}A^n &=& \{(-1)^n-(-2)^n\}A-\{-2(-1)^n+(-2)^n\}E \\ &=& (-1)^{n+1}\{(2^n-1)A+(2^n-2)E\}\end{eqnarray*}$

となり、3 節の計算結果にも一致する。

(10) が 2 つの虚数解を持つ場合も、 $\alpha\neq\beta$ であれば上と同じ議論が行えるので、 (16) が成立する。

最後に、(10) が重解 $\alpha$ を持つ場合を考える。もし、 $\alpha=0$ ならば、(11) より $A^2=O$ なので、この場合は $n\geq 2$ に対して $A^n=O$ となる。よってあとは $\alpha$ が重解で $\alpha\neq 0$ の場合を考えればよい。