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5 積の収束の証明

では、3 節の極限の定義 2 を使って、 積の収束 (3) を証明してみよう。

この場合、どんな $\varepsilon$ ($>0$) に対しても、$n>N$ ならば

$$\vert a_nb_n-\alpha\beta\vert<\varepsilon$$ (6)

となるような $N$ が取れればいい。そのような $N$ を実際に探してみる。

まず、2 節のように、

$$c_n=a_n-\alpha,\hspace{1zw}d_n=b_n-\beta$$

とすると、$a_n$, $b_n$ は $\alpha$, $\beta$ にそれぞれ収束する という仮定から、 極限の定義 2 により、 どんな $\tau$ ($>0$) に対しても

• $n>A$ ならば $\vert a_n-\alpha\vert<\tau$ となるような $A$ が取れ、
• $n>B$ ならば $\vert b_n-\beta\vert<\tau$ となるような $B$ が取れる

はずである。つまり、この場合、

$$n>A \mbox{ ならば }\vert c_n\vert<\tau, \hspace{1zw}n>B \mbox{ ならば } \vert d_n\vert<\tau$$

となることになる。

2 節で計算したように、

$$a_nb_n-\alpha\beta = \alpha d_n+\beta c_n+c_nd_n$$

であることに注意する。 まず、$\alpha\neq 0$, $\beta\neq 0$ の場合を考える。

仮定より、 $\tau=\varepsilon/(3\vert\alpha\vert)$ と考えれば、

$$n>B_1 \mbox{ ならば } \vert d_n\vert<\frac{\varepsilon}{3\vert\alpha\vert}$$ (7)

となるような $B_1$ が取れるはずである。 同様に、 $\tau=\varepsilon/(3\vert\beta\vert)$ と考えれば

$$n>A_1 \mbox{ ならば } \vert c_n\vert<\frac{\varepsilon}{3\vert\beta\vert}$$ (8)

となるような $A_1$ が取れるはずであるし、 $\tau=\vert\alpha\vert$ と考えれば

$$n>A_2 \mbox{ ならば } \vert c_n\vert<\vert\alpha\vert$$ (9)

となるような $A_2$ も取れるはずである。

この、$B_1$, $A_1$, $A_2$ の一番大きいものを $N$ としよう。 そうすると、$n>N$ ならば、もちろん $n>B_1$ だから (7) より

$$\vert\alpha\vert\vert d_n\vert<\frac{\varepsilon}{3}$$

なので、

$$-\frac{\varepsilon}{3}<\alpha d_n<\frac{\varepsilon}{3}$$ (10)

となる。同様に $n>A_1$ だから (8) より

$$\vert\beta\vert\vert c_n\vert<\frac{\varepsilon}{3}$$

なので、

$$-\frac{\varepsilon}{3}<\beta c_n<\frac{\varepsilon}{3}$$ (11)

である。そして、$n>A_2$ かつ $n>B_1$ だから、 (7) と (9) より

$$\vert c_n\vert\vert d_n\vert<\vert\alpha\vert\frac{\varepsilon}{3\vert\alpha\vert} = \frac{\varepsilon}{3}$$

なので、

$$-\frac{\varepsilon}{3}<c_n d_n<\frac{\varepsilon}{3}$$ (12)

である。この (10),(11),(12) を 合わせると、$n>N$ に対しては

$$-\frac{\varepsilon}{3}-\frac{\varepsilon}{3}-\frac{\varepsil... ...ac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}$$

すなわち、

$$-\varepsilon<a_nb_n-\alpha\beta<\varepsilon$$

が言え、(6) が言えることになる。

$\alpha=0$ で $\beta\neq 0$ のときは、 $\tau=\varepsilon/(2\vert\beta\vert)$ とすれば

$$n>A_3\mbox{ ならば }\vert c_n\vert<\frac{\varepsilon}{2\vert\beta\vert}$$

である $A_3$ が取れ、 $\tau=\vert\beta\vert$ とすれば

$$n>B_2\mbox{ ならば }\vert d_n\vert<\vert\beta\vert$$

であるような $B_2$ が取れる。 よって、$A_3$ と $B_2$ の大きい方を $N$ とすれば、$n>N$ であれば

$$\vert\beta c_n\vert=\vert\beta\vert\vert c_n\vert<\frac{\var... ...psilon}{2\vert\beta\vert}\vert\beta\vert=\frac{\varepsilon}{2}$$

なので、

$$-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2} <\beta c_n+c_nd_n <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$

となり、よって

$$-\varepsilon<a_nb_n-\alpha\beta<\varepsilon$$

が言える。その他の場合も同様である。

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