6 複素数の範囲での部分分数分解

s² + 1 は実数の範囲では因数分解できないが、 複素数の範囲では (s - i)(s + i) と因数分解できるから、 それによってさらに 1 次式の巾の分母の形に部分分数分解できることになる。 なお、この場合は、F_k , G_k の形に分けてからではなく、 (7) の形で行う方が効率的であるし、 F_k , G_k に分けても易しくなるわけではない。

例えば、

F(s) = $${\frac{{s^3-2s^2+4}}{{(s^2+1)^2}}}$$

の場合を考える。定理 2 により、

$${\frac{{s^3-2s^2+4}}{{(s+i)^2(s-i)^2}}} {\frac{{as+b}}{{(s+i)^2}}} {\frac{{cs+d}}{{(s-i)^2}}}$$ (9)

とおくことができる。 ただし、この場合定数 a, b, c, d は複素数であることに注意する。 (9) の右辺を通分すると、その分子は、

= (as + b)(s² -2si - 1) + (cs + d )(s² + 2si - 1)

= as³ + (- 2ai + b)s² + (- a - 2bi)s - b + cs³ + (2ci + d )s² + (- c + 2di)s - d

と展開されるので、元の式の分子と係数比較すれば、

$$\left\{\vphantom{\begin{array}{ll} a+c &=1\\ -2ai+b+2ci+d &=-2\\ -a-2bi-c+2di &= 0\\ -b-d &=4 \end{array}}\right. \begin{array}{ll} a+c &=1\\ -2ai+b+2ci+d &=-2\\ -a-2bi-c+2di &= 0\\ -b-d &=4 \end{array}$$ (10)

という連立方程式を得る。これを解いて a, b, c, d を求めればよいが、 2 本目、3 本目の式を

-2i(a - c) + (b + d )= - 2,   - (a + c) - 2i(b - d )= 0

と変形すれば、1 本目、4 本目の式より

-2i(a - c) = 2,   - 2i(b - d )= 1

となるので、

a - c = i,   b - d = $${\frac{{i}}{{2}}}$$

となる。これと 1 本目、4 本目の式を組み合わせれば、結局

a = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ + $${\frac{{i}}{{2}}}$$,   b = - 2 + $${\frac{{i}}{{4}}}$$,   c = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ - $${\frac{{i}}{{2}}}$$,   d = - 2 - $${\frac{{i}}{{4}}}$$

が得られる。

なお、この結果を見ると c = $\bar{{a}}$ , d = $\bar{{b}}$ であることがわかるが、 これは実は (9) から導くこともできる。 F(s) は元々実数係数の有理関数なので、 (9) の共役を考えれば、共役の性質

$$\overline{{z+w}}$$ = $$\bar{{z}}$$ + $$\bar{{w}}$$,   $$\overline{{z-w}}$$ = $$\bar{{z}}$$ - $$\bar{{w}}$$,   $$\overline{{zw}}$$ = $$\bar{{z}}$$ $$\bar{{w}}$$,   $$\overline{{\left(\frac{z}{w}\right)}}$$ = $${\frac{{\bar{z}}}{{\bar{w}}}}$$

を用いることにより以下のようになる:

$$\overline{{F(s)}}$$ = F(s) = $$\overline{{\frac{as+b}{(s+i)^2}+\frac{cs+d}{(s-i)^2}}}$$ = $${\frac{{\bar{a}s+\bar{b}}}{{(s-i)^2}}}$$ + $${\frac{{\bar{c}s+\bar{d}}}{{(s+i)^2}}}$$

これも F(s) の部分分数分解であり、この係数は一意に決まるので、 (9) と比較すれば、

$$\bar{{a}}$$s + $$\bar{{b}}$$ = cs + d,   $$\bar{{c}}$$s + $$\bar{{d}}$$ = as + b

となり、よって c = $\bar{{a}}$ , d = $\bar{{b}}$ がいえる。 また、このとき F は、

F(s) = $${\frac{{as+b}}{{(s+i)^2}}}$$ + $${\frac{{\bar{a}s+\bar{b}}}{{(s-i)^2}}}$$ = $${\frac{{as+b}}{{(s+i)^2}}}$$ + $$\overline{{\left\{\frac{as+b}{(s+i)^2}\right\}}}$$ = 2$$\Re$$$${\frac{{as+b}}{{(s+i)^2}}}$$

となることになる。最後の分数式は

$${\frac{{as+b}}{{(s+i)^2}}}$$ = $${\frac{{(as+b)(s-i)^2}}{{(s^2+1)^2}}}$$ = $${\frac{{as^3+(-2ai+b)s^2+(-a-2bi)s-b}}{{(s^2+1)^2}}}$$

となるので、元の式と比較すれば、

$$\Re$${as³ + (- 2ai + b)s² + (- a - 2bi)s - b} = $${\frac{{s^3}}{{2}}}$$ - s² + 2

となるが、 $\Re$(iz) = - $\Im$z なので、

$$\Re$$a = $${\frac{{1}}{{2}}}$$,   2$$\Im$$a + $$\Re$$b = - 1,   - $$\Re$$a + 2$$\Im$$b = 0,   - $$\Re$$b = 2

となるので、よって、

$$\Re$$a = $${\frac{{1}}{{2}}}$$,   $$\Im$$a = $${\frac{{1}}{{2}}}$$,   $$\Re$$b = - 2,   $$\Im$$b = $${\frac{{1}}{{4}}}$$

つまり

a = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ + $${\frac{{i}}{{2}}}$$,   b = - 2 + $${\frac{{i}}{{4}}}$$

と得られる。 こちらの方が (10) に比べて 多少は式の処理はやさしく見えなくもない。

しかし、いずれにせよ、この方法では分母の次数が大きい場合、 例えば (s² +1)⁵ のような場合は、計算量が非常に多く、 あまり易しい計算方法ではない。