8 t の k 乗倍のテイラー展開

テイラー展開を利用する方法は、残念ながらあまりうまくはない。 例えば t⁵sin t の場合、

t⁵sin t = $${\frac{{t^6}}{{1!}}}$$ - $${\frac{{t^8}}{{3!}}}$$ + $${\frac{{t^{10}}}{{5!}}}$$ - $${\frac{{t^{12}}}{{7!}}}$$ + ^...

より、

$$\mathcal {L}$$

$$\mathcal {L} \left[\vphantom{\frac{t^6}{1!}-\frac{t^8}{3!}+\frac{t^{10}}{5!} -\frac{t^{12}}{7!}+\cdots}\right. {\frac{{t^6}}{{1!}}} {\frac{{t^8}}{{3!}}} {\frac{{t^{10}}}{{5!}}} {\frac{{t^{12}}}{{7!}}} \left.\vphantom{\frac{t^6}{1!}-\frac{t^8}{3!}+\frac{t^{10}}{5!} -\frac{t^{12}}{7!}+\cdots}\right] {\frac{{1}}{{1!}}} {\frac{{6!}}{{s^7}}} {\frac{{1}}{{3!}}} {\frac{{8!}}{{s^9}}} {\frac{{1}}{{5!}}} {\frac{{10!}}{{s^{11}}}} {\frac{{1}}{{7!}}} {\frac{{12!}}{{s^{13}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{s^6}}} \left(\vphantom{\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{s} -\frac{8\... ...cdot 5\cdot 4}{s^3} +\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{s^5} -\cdots}\right. {\frac{{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{{s}}} {\frac{{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}}{{s^3}}} {\frac{{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}{{s^5}}} \left.\vphantom{\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{s} -\frac{8\... ...cdot 5\cdot 4}{s^3} +\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{s^5} -\cdots}\right)$$ =

となり、この最後の式のかっこ内は、

$${\frac{{-1}}{{1+X^2}}}$$ = - 1 + X² - X⁴ + X⁶ - X⁸ + ^...

を 5 回微分したもの

- $$\left(\vphantom{\frac{1}{1+X^2}}\right.$$$${\frac{{1}}{{1+X^2}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{1}{1+X^2}}\right)^{{(5)}}_{}$$ = 6 ^. 5 ^. 4 ^. 3 ^. 2X - 8 ^. 7 ^. 6 ^. 5 ^. 4X³ + ^...

を使って表わされる。 しかし、左辺の 5 回の微分の計算は、 結局 6 節の t⁵ 倍と見た場合の計算と 同じことをやらなければならないので、 ここから先の計算量はほぼその節の計算と同等である。