4 テイラー展開の利用

ラプラス変換の計算で常に使えるわけではないが、 テイラー展開 (マクローリン展開) を形式的に利用した計算法も紹介する。

sin t のマクローリン展開は、

sin t = $${\frac{{t}}{{1!}}}$$ - $${\frac{{t^3}}{{3!}}}$$ + $${\frac{{t^5}}{{5!}}}$$ - $${\frac{{t^7}}{{7!}}}$$ + ^...

であり、これはすべての実数 t で成り立つ。よって、

$${\frac{{t^2}}{{1!}}} {\frac{{t^4}}{{3!}}} {\frac{{t^6}}{{5!}}} {\frac{{t^8}}{{7!}}}$$ (6)

となる。 $\mathcal {L}$[t^k] = k!/s^k+1 であるので、 形式的に (7) をラプラス変換すると、

$$\mathcal {L} {\frac{{1}}{{1!}}} {\frac{{2!}}{{s^3}}} {\frac{{1}}{{3!}}} {\frac{{4!}}{{s^5}}} {\frac{{1}}{{5!}}} {\frac{{6!}}{{s^7}}} {\frac{{1}}{{7!}}} {\frac{{8!}}{{s^9}}} {\frac{{2}}{{s^3}}} {\frac{{4}}{{s^5}}} {\frac{{6}}{{s^7}}} {\frac{{8}}{{s^9}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{s^2}}} \left(\vphantom{ \frac{2}{s}-\frac{4}{s^3}+\frac{6}{s^5}-\frac{8}{s^7}+\cdots }\right. {\frac{{2}}{{s}}} {\frac{{4}}{{s^3}}} {\frac{{6}}{{s^5}}} {\frac{{8}}{{s^7}}} \left.\vphantom{ \frac{2}{s}-\frac{4}{s^3}+\frac{6}{s^5}-\frac{8}{s^7}+\cdots }\right)$$ =

となる。よって今、

h(X) = 2X - 4X³ +6X⁵ -8X⁷ + ^... (7)

とすれば、

$$\mathcal {L}$$[t sin t] = $${\frac{{1}}{{s^2}}}$$h$$\left(\vphantom{\frac{1}{s}}\right.$$$${\frac{{1}}{{s}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{1}{s}}\right)$$

と書けることになる。ところで、(8) は

H(X) = - 1 + X² - X⁴ + X⁶ - X⁸ + ^... (8)

を微分したものであり、(9) は初項 (- 1) 、公比 (- X²) の 等比級数なので、

H(X) = $${\frac{{-1}}{{1+X^2}}}$$

となる。よって、

h(X) = H'(X) = $$\left(\vphantom{\frac{-1}{1+X^2}}\right.$$$${\frac{{-1}}{{1+X^2}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{-1}{1+X^2}}\right){^\prime}$$ = $${\frac{{2X}}{{(1+X^2)^2}}}$$

より、

$$\mathcal {L} {\frac{{1}}{{s^2}}} {\frac{{\displaystyle \frac{2}{s}}}{{\displaystyle \left(1+\frac{1}{s^2}\right)^2}}} {\frac{{1}}{{s^2}}} {\frac{{2s^3}}{{(s^2+1)^2}}} {\frac{{2s}}{{(s^2+1)^2}}}$$ =

となる。