8 <Bn> が 0 に収束すること

次は、 $\langle B_n\rangle =\langle \eta_n\hat{q}_n-\hat{\eta}_n q_n\rangle$ の 0 への収束性を示す。 ここでは DiPerna の方法を多少改良した方法を紹介する。

DiPerna ([5]) は、

$$\begin{eqnarray*}B^{(0)}_n &=& B^{(0)}_n(a) = \eta^{(0)}(a)q_n(a)-\eta_n(a)q^{(0... ...\\ B_n &=& B_n(a) = \eta_n(a)\hat{q}_n(a)-\hat{\eta}_n(a)q_n(a)\end{eqnarray*}$$

を考え、これらの組み合わせによって

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\langle B_n\rangle =0$$ (43)

を示している。 しかし、[4],[5] では (43) を示すために $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ に強い制限を与えることで

$\langle \eta_n\rangle$, $\langle q_n\rangle$ が有界で、 $\langle B^{(0)}_n\rangle \rightarrow 0$, $\langle B^{(1)}_n\rangle$ が有界

となるようにしている。 しかし、その議論を見直してみると、以下の式を用いれば $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ の制限を多少緩くできることがわかる。

補題 9

$B_{0,1}=B_{0,1}(a)=\eta^{(0)}q^{(1)}-\eta^{(1)}q^{(0)}$ とすると、 次が成り立つ。

$$\langle B_n\rangle \langle B_{0,1}\rangle -\langle B^{(0)... ... +\langle \hat{B}^{(0)}_n\rangle \langle B^{(1)}_n\rangle =0$$ (44)

なお、 $\hat{B}^{(j)}_n$ は $B^{(j)}_n$ の $\eta_n$, $q_n$ を $\hat{\eta}_n$, $\hat{q}_n$ で置き換えたものを意味する。

証明

一般に、Tartar の関係式を満たすようなエントロピー対 $(\eta_i,q_i)$, $(\eta_j,q_j)$ ( $1\leq i<j\leq 4$) に対して、 $B_{i,j}=\eta_i q_j - \eta_j q_i$ とするとき、

$$\langle B_{1,2}\rangle \langle B_{3,4}\rangle -\langle B_... ...4}\rangle +\langle B_{1,4}\rangle \langle B_{2,3}\rangle =0$$ (45)

が成り立つことを示せばよい。 (45) は、Tartar の関係式

$$\langle B_{i,j}\rangle =\langle \eta_i\rangle \langle q_j\r... ...a_j\rangle \langle q_i\rangle \hspace{1zw}(1\leq i<j\leq 4)$$

を直接代入して整理しても得られるが、 4 次の行列式

$$\determC{\langle \eta_1\rangle ,\langle \eta_2\rangle ,\lan... ...ngle q_2\rangle ,\langle q_3\rangle ,\langle q_4\rangle } =0$$

を、1,2 列目に関して 2 次の小行列式同士の積の形にラプラス展開して、 Tartar の関係式

$$\determC{\langle \eta_i\rangle ,\langle \eta_j\rangle :\langle q_i\rangle ,\langle q_j\rangle }=\langle B_{i,j}\rangle$$

を用いても得られる ((45) を 2 倍した式が得られる)。

[4],[5] でも、 実質的には (44) を用いたような議論はしているのであるが、 直接 (44) を積極的には使っていないために $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ に強い制限が必要になっていて、 特に [4] ではその $\psi_0$ の選択がかなり複雑になっている。 本稿では、(44) を積極的に用いることで、 $\psi_0$, $\hat{\psi}_0$ には強い制限を与えないような議論を行う。

なお、関係式 (45) は [11] p450 にも見られるが、 Lions ら ([6]) はこれを用いてはおらず、 内エントロピー $\eta^{(0)}(a)$ のみを用い、 そのパラメータを変えたエントロピー対に対する 3 次の行列式

$$\determC{\langle \eta^{(0)}(a)\rangle ,\langle \eta^{(0)}(b)... ...gle ,\langle q^{(0)}(b)\rangle ,\langle q^{(0)}(c)\rangle } =0$$

を 1 列目に関して展開して

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\langle \eta^{(0)}(a)\rangle \langle B^{(0)}(b,c)\rang... ...&& (B^{(0)}(a,b)=\eta^{(0)}(a)q^{(0)}(b)-\eta^{(0)}(b)q^{(0)}(a))\end{eqnarray*}$$

とし、この式をパラメータ $a$, $b$ などについて $\tau+1$ 回微分する、 といった手法を用いている。

補題 10

$h(a)=\langle B_{0,1}(a)\rangle$ とすると、$h(a)$ は有界で、 $a\not\in\mathcal{C}$ に対しては $h(a)=0$、 $a\in\mathcal{C}$ に対しては $h(a)>0$ となる。

証明

$B_{0,1}$ は、

$$\begin{eqnarray*}B_{0,1} &=& \eta^{(0)}q^{(1)}-\eta^{(1)}q^{(0)} &=& \et... ...\frac{1}{3}(a+w+z)\eta^{(0)} &=& \frac{1}{3}(\eta^{(0)})^2 \end{eqnarray*}$$

であるから $\Sigma _1$ 上有界で、(42) より

$$\langle \eta^{(0)}\rangle \leq\sqrt{3\langle B_{0,1}\rangle }$$

となるが、 $a\in\mathcal{C}$ に対して $\langle \eta^{(0)}(a)\rangle >0$ なので

$$h(a)=\langle B_{0,1}(a)\rangle \geq\frac{1}{3}\langle \eta^{(0)}(a)\rangle ^2>0$$

となる。一方、 $a\not\in\mathcal{C}$ に対しては、 命題 8 の 1. より $a\leq z_1$ か、$a\geq w_1$ であるが、いずれの場合も

$$B_{0,1} = \frac{1}{3}(\eta^{(0)})^2 = \frac{1}{3}(w-a)^2(a-z)^2X(a)$$

は $(w,z)\in\Sigma_1$ に対して 0 になってしまうので、 $h(a)=\langle B_{0,1}(a)\rangle =0$ となる。

次に、$B^{(0)}_n$, $B^{(1)}_n$ の極限を考える。 それには次の補題を用いる。

補題 11

$\psi_n(s)=\psi_n(s;a)=n\psi_0(n(s-a))$ ( $\psi_0\in C_0^\infty(]0,1[)$)、 および任意の有界な区間 $I=[p,q]$ に対して、次が成り立つ。

1. $(s-a)^k\psi_n(s)$ ($k\geq 1$) は、$s,a\in I$, $n$ に関して有界で、

   $$\lim_{n\rightarrow\infty}(s-a)^k\psi_n(s)=0$$

   
   
2. $f(s)$ が $I$ 上連続ならば、

   $$I_n=\int_z^w f(s)\psi_n(s) ds$$

   
   は、$z,w,a\in I$ ($z\leq w$), $n$ に関して有界で、 以下が成り立つ。

   $$\lim_{n\rightarrow\infty}I_n = f(a)c_0 X(a) \hspace{1zw}\left(c_0=\int_0^1\psi_0\right)$$

   
   

証明

1.
$S_n=n(s-a)$ と書くことにすれば、

$$(s-a)^k\psi_n(s)=n(s-a)^k\psi_0(n(s-a))=(s-a)^{k-1}S_n\psi_0(S_n)$$

であり、 $\psi_0\in C_0^\infty(]0,1[)$ だから $x\psi_0(x)$ は有界で、 $(s-a)^{k-1}$ も有界である。

$n\rightarrow\infty$ のとき、 $s\neq a$ ならば $S_n=n(s-a)\rightarrow\pm\infty$ なので 大きい $n$ に対しては $S_n$ は $\psi_0$ のサポートを越えてしまうので $S_n\psi_0(S_n)\rightarrow 0$ となる。

$s=a$ ならば $S_n=0$ なので OK.

2.
$W_n=n(w-a)$, $Z_n=n(z-a)$ とすると、

$$\int_z^w\vert\psi_n(s)\vert ds =\int_z^w n\vert\psi_0(n(s-... ..._n}^{W_n}\vert\psi_0(y)\vert dy \leq \Vert\psi_0\Vert _{L^1}$$

なので、

$$\vert I_n\vert\leq \max\{\vert f(s)\vert; s\in I\}\cdot\Vert\psi_0\Vert _{L^1}$$

となり $I_n$ は確かに有界となる。$\psi_n(s)$ のサポートは

$$\mathop{\mathrm{supp}}\nolimits \psi_n(s) =\mathop{\mathrm... ...\nolimits \psi_0(n(s-a)) \subset\left[a,a+\frac{1}{n}\right]$$ (46)

なので、$w\leq a$ ならば $I_n=0$ であり、 $a<z$ ならば十分大きい $n$ に対して $a+1/n\leq z$ となり、 そのような $n$ に対しては $I_n=0$ だから $I_n\rightarrow 0$ となる。

$z\leq a<w$ ならば十分大きい $n$ に対し $a+1/n\leq w$ となるから、 そのような $n$ に対して

$$\begin{eqnarray*}I_n &=& \int_a^{a+1/n}f(s)\psi_n(s)ds = \int_0^1 f\left(a+\... ...i_0(y)dy &\rightarrow & \int_0^1 f(a)\psi_0(y)dy = f(a)c_0 \end{eqnarray*}$$

となる。ゆえにこれをまとめて $I_n\rightarrow f(a)c_0X(a)$ となる。

ここまでは $(\eta,q)$, $(\bar{\eta},\bar{q})$ に対して、

$$B=\eta\bar{q}-\bar{\eta}q$$

のようにしてきたが、 $\sigma=q-\lambda_2\eta$ を用いれば

$$B =\eta(\bar{\sigma}+\lambda_2\bar{\eta})-\bar{\eta}(\sigma+\lambda_2\eta) =\eta\bar{\sigma}-\bar{\eta}\sigma$$

となるので、この形で考えることにする。 まず $B^{(0)}_n$ は、(17), (21), (23) より

$$\begin{eqnarray*}B^{(0)}_n &=& \eta^{(0)}\sigma_n-\sigma^{(0)}\eta_n = \eta^... ...left. -2\int_z^w\left(s-\frac{w+z+a}{3}\right)\psi_n(s)ds\right]\end{eqnarray*}$$

となるので、補題 11 より $B^{(0)}_n$ は $w,z,a\in[z_1,w_1]$, $n$ に関して有界で、

$$\begin{eqnarray*}B^{(0)}_n &\rightarrow & -2\eta^{(0)}\left(a-\frac{w+z+a}{3}\... ...(0)}(w+z-2a)c_0X(a) &=& \frac{2}{3} c_0\eta^{(0)}\eta^{(1)}\end{eqnarray*}$$

となる。同様に $B^{(1)}_n$ を考えると、

$$\begin{eqnarray*}B^{(1)}_n &=& \eta^{(1)}\sigma_n-\sigma^{(1)}\eta_n = \eta^... ...}\left\{(w-z)(\psi_n(w)+\psi_n(z)) -2\int_z^w\psi_n(s)ds\right\}\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\eta^{(0)}(\psi_n(w)+\psi_n(z)) =\{(w-a)\psi_n(w)(a-z)+(a-z)\psi_n(z)(w-a)\}X(a)$$

等より、補題 11 から $B^{(1)}_n$ も $w,z,a\in[z_1,w_1]$, $n$ に関して有界であることがわかり、 $X(a)^2=X(a)$ なので

$$\begin{eqnarray*}B^{(1)}_n &\rightarrow & -2\eta^{(1)}\left(a-\frac{w+z+a}{3}\... ...0)}c_0X(a) &=& \frac{2}{3} c_0\{\eta^{(0)}+(\eta^{(1)})^2\}\end{eqnarray*}$$

となる。よって Lebesgue 収束定理により、

$$\langle B^{(0)}_n\rangle \rightarrow \frac{2}{3} c_0\langle... ...rrow \frac{2}{3} c_0\langle \eta^{(0)}+(\eta^{(1)})^2\rangle$$

が言え、同様に

$$\langle \hat{B}^{(0)}_n\rangle \rightarrow \frac{2}{3} \ha... ...angle \hspace{1zw}\left(\hat{c}_0=\int_0^1\hat{\psi}_0\right)$$

が言えるから、補題 9 より

$$\langle B_n\rangle \langle B_{0,1}\rangle = h(a)\langle B_n... ...\hat{B}^{(0)}_n\rangle \langle B^{(1)}_n\rangle \rightarrow 0$$

となる。よって補題 10 より、 $a\in\mathcal{C}=]z_1,w_1[$ に対しては

$$\langle B_n\rangle \rightarrow 0$$

となることもわかる。

命題 12

$h(a)\langle B_n\rangle$ はすべての $a$ に対して有界で、

$$\lim_{n\rightarrow\infty}h(a)\langle B_n\rangle =0$$ (47)

となる。特に $a\in\mathcal{C}=]z_1,w_1[$ に対しては

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\langle B_n\rangle =0$$

となる。

なお、本稿では [4],[5] とはやや異なり、 $\langle B_n\rangle \rightarrow 0$ よりもむしろ $h(a)\langle B_n\rangle \rightarrow 0$ の方を用いる。