5.5.0.4 [S-2] の場合

この場合、

  $$\Delta Q_k(\tau) = I^k_j + \vert\sigma_{np}\vert S_{np}, \hspa... ...sigma''_j\vert\bar{S}_j - \vert\sigma'_j\vert S'_j - \vert\sigma''_j\vert S''_j$$ (66)

となり $S_{np}$, $\bar{S}_j$, $S'_j$, $S''_j$ はすべて $k$ 以上の 世代の項のみからなる。 [A-2] と同様に場合分けすると、 1. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j<0$ のときは [A-2] の 1. と同様 $\bar{S}_j=S'_j=S''_j$ となり、よって

$$I^k_j = (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert - \vert\sigma'_j\vert - \vert\sigma''_j\vert)S'_j \leq 0$$

となる。

3. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j>0$, $\sigma'_j+\sigma''_j<0$ のときは、 $\bar{S}_j=S'_j\geq S''_j$ となり、

$$\begin{eqnarray*}I^k_j &=& (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert - \vert\sigma'_j\v... ...'_j - \sigma''_jS''_j \ &=& -\sigma''_j(S'_j+S''_j) \leq 0\end{eqnarray*}$$

となる。

4. の $\sigma'_j<0$, $\sigma''_j>0$, $\sigma'_j+\sigma''_j\geq 0$ のときは、 $\sigma'_j+\sigma''_j=0$ ならば $I^k_j\leq 0$、 $\sigma'_j+\sigma''_j>0$ ならば $\bar{S}_j = S''_j \leq S'_j$ なので、

$$I^k_j = (\vert\sigma'_j+\sigma''_j\vert - \vert\sigma''_j\vert)S... ...a'_j+\sigma''_j\vert - \vert\sigma''_j\vert - \vert\sigma'_j\vert)S''_j \leq 0$$

となる。

5. は 3. と同様で、6. は 4. と同様なので、いずれも $I^k_j\leq 0$ が 得られ、よって、(66) より

$$\Delta Q_k(\tau) \leq \vert\sigma_{np}\vert S_{np} \leq \vert\sigma_{np}\vert V_k(\tau-)$$

となり、Lemma 7.2 (iii) より (63) が 得られる。