2.6 ラグランジュ座標系

2.4, 2.5 節で 導いた保存則方程式は、固定座標系、いわゆるオイラー座標系での 理想気体の保存則方程式であるが、 流体の動きに付随する動座標系、いわゆるラグランジュ座標系での 考察もよく行われていて、特に 1 次元の気体の方程式に対しては、 質量座標系 という動座標系を使うと形が綺麗になることが知られていて、 ここではそれを紹介する。

質量座標とは、単に流体の運動に付随する動座標 $X=X(t;t_0,x)$ を $x$ の代わりに用いるのではなく、 ある基準となる流体位置 $X_0=X(t;t_0,x_0)$ から $x$ までの質量 $M^1_{[X_0,x]}(t)$ を空間座標として用いることをいう。 すなわち、

$$\begin{eqnarray*}z &=& z(t,x) = \left\{\begin{array}{ll} M^1_{[X_0,x]}(t) ... ... &=& \bar{M}^1(t,x)-\bar{M}^1(t,X_0) = \int_{X_0}^x\rho(t,y)dy\end{eqnarray*}$$

を $x$ の代わりの空間座標とすることになる。

$$\frac{\partial\, z}{\partial\, x} = \rho(t,x)$$

なので、$\rho(t,x)>0$ であれば各 $t$ に対して $z$ は $x$ の単調増加関数、すなわち 1 対 1 に対応することとなり、 $x$ の代わりに $z$ を新たな座標系と取ることができる。 つまり、

$$(z,\tau)=\left(t,\int_{X_0}^x \rho(t,y)dy\right) \hspace{1zw}(X_0=X(t;t_0,x_0))$$

として $(t,x)$ の代わりに $(\tau,z)$ を座標系として考えるのが 質量座標系である。

今、質量座標系で $f(t,x)$ が $\tilde{f}(\tau,z)$ と表されるとすると (以後、$(t,x)$ の関数を $(\tau,z)$ の関数と見る場合は このように $\tilde{\,}$ をつけて書き表すこととする)、

$$f(t,x)=\tilde{f}(\tau,z)=\tilde{f}\left(t,\int_{X_0}^x\rho(t,y)dy\right)$$

であり、(2.5), (2.10) より、

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial\, z}{\partial\, t} &=& \frac{\partial}{\partia... ... \\ &=& -\rho u,\\ \frac{\partial\, z}{\partial\, x} &=& \rho\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}f_t(t,x) &=& \tilde{f}_{\tau}+\tilde{f}_z\frac{\partial\, z}... ...}_z\frac{\partial\, z}{\partial\, x} = \tilde{f}_z\tilde{\rho}\end{eqnarray*}$$

となる。これを、各保存則に適用すると、

$$0 = \rho_t+(\rho u)_x$$

$$= \tilde{\rho}_{\tau}-\tilde{\rho}\tilde{u}\tilde{\rho}_z +(\tilde{... ...u}\tilde{\rho}_z +\tilde{\rho}_z\tilde{\rho}\tilde{u}+\tilde{\rho}^2\tilde{u}_z$$

$$= \tilde{\rho}_{\tau}+\tilde{\rho}^2\tilde{u}_z,$$ (2.18)

$$0 = (\rho u)_t+(\rho u^2+P)_x$$

$$= (\tilde{\rho}\tilde{u})_{\tau} -\tilde{\rho}\tilde{u}(\tilde{\rho... ...ho}\tilde{u}_{\tau} +\tilde{\rho}^2\tilde{u}\tilde{u}_z+\tilde{P}_z\tilde{\rho}$$

$$= \tilde{\rho}(\tilde{u}_{\tau}+\tilde... ...\ref{eq:sec:gas:lagrange_mass}) より}), %\label{eq:sec:gas:lagrange_momentum}$$

$$0 = \left\{\rho\left(\frac{u^2}{2}+e\right)\right\}_t +\left\{\rho u\left(\frac{u^2}{2}+e\right)+Pu\right\}_x$$

$$= \left\{\tilde{\rho}\left(\frac{\tilde{u}^2}{2}+\tilde{e}\right)\r... ...}{2}+\tilde{e}\right) \right\}_z\tilde{\rho}+(\tilde{P}\tilde{u})_z\tilde{\rho}$$

$$= \left\{\tilde{\rho}\left(\frac{\tilde{u}^2}{2}+\tilde{e}\right)\r... ...left(\frac{\tilde{u}^2}{2}+\tilde{e}\right) +(\tilde{P}\tilde{u})_z\tilde{\rho}$$

$$= \left(\frac{\tilde{u}^2}{2}+\tilde{e}\right) (\tilde{\rho}_{\tau}... ...rac{\tilde{u}^2}{2}+\tilde{e}\right)_{\tau} +(\tilde{P}\tilde{u})_z\tilde{\rho}$$

$$= \tilde{\rho}\left\{\left(\frac{\tild... ...x{(\ref{eq:sec:gas:lagrange_mass}) より}) %\label{eq:sec:gas:lagrange_energy}$$

となる。(2.18) を保存形にするために $\tilde{v}=1/\tilde{\rho}$ とすると、

$$\tilde{v}_{\tau}=-\frac{1}{\tilde{\rho}^2}\tilde{\rho}_{\tau}$$

より、質量座標系による保存則方程式系

$$\left\{\begin{array}{l} \tilde{v}_{\tau}-\tilde{u}_z=0,\\ ... ...e}\right)_{\tau} +(\tilde{P}\tilde{u})_z=0 \end{array}\right.$$ (2.19)

が得られることになる。$\tilde{e}$ は、

$$\tilde{e} =\frac{1}{\gamma-1}\frac{\tilde{P}}{\tilde{\rho}} =\frac{\tilde{P}\tilde{v}}{\gamma-1}$$

であるが、バロトロピー、すなわち $P$ が $\rho$ のみの関数であるとすれば、 $\tilde{P}$ は $\tilde{v}$ のみの関数となり、 等エントロピー流であれば $\tilde{P}=A\tilde{v}^{-\gamma}$、 等温流であれば $\tilde{P}=A\tilde{v}^{-1}$ のようになって、 (2.19) の最初の 2 本のみで閉じた方程式系となる。 この場合この 2 本からなる保存則方程式系を、 特に $P$-system と呼ぶことがある。