4 y2 の一般の場合

この節では、3 節と同様にして、 一般の $L$ に対する $y_2$ を考えてみることにする。

$1\leq k<L$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_2=k\} &=& \mathrm{Prob}\{\lfloor p_2L\rfloor... ...2<k/L\} \ &=& \mathrm{Prob}\{(k-1)(R_M+1)/L\leq x<k(R_M+1)/L\}\end{eqnarray*}$$

となり、 $(k-1)(R_M+1)/L\geq 0$, $k(R_M+1)/L\leq R_M+1$ なので、 補題 1 により

$$\mathrm{Prob}\{y_2=k\}=\frac{1}{R_M+1}\left\{ \left\lceil\... ...t\rceil -\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil \right\}$$ (15)

となる。今、(15) の分子 (中カッコ内) を $\alpha_k$ とすれば、

$$\alpha_k = \left\lceil\frac{R_M+1}{L}k\right\rceil -\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil$$ (16)

となるが、これが 2 つの整数のいずれかとなることを示す。

補題 2

整数 $x=\lceil A+B\rceil -\lceil A\rceil$ は、

$$\lceil B\rceil-1\leq x\leq\lceil B\rceil$$

を満たし、よって、 $x=\lceil B\rceil-1$ か $x=\lceil B\rceil$ かの いずれかである。

証明

今、任意の実数 $t$ に対して

$$\langle t\rangle = \lceil t\rceil - t$$

と書くことにすると、 $t\leq \lceil t\rceil<t+1$ より $0\leq\langle t\rangle<1$ であり、よって、

$$\begin{eqnarray*}x &=& \lceil A+B\rceil -\lceil A\rceil = \left\lceil \lceil... ...ight\rceil -\lceil A\rceil = \lceil B -\langle A\rangle\rceil \end{eqnarray*}$$

となる。よって、 $-1<-\langle A\rangle\leq 0$ より、

$$\lceil B\rceil-1\leq\lceil B-\langle A\rangle\rceil =x \leq\lceil B\rceil$$

が言える。

この補題 2 と (16) より、

$$\left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil-1 \leq\alpha_k\leq \left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil$$ (17)

であること、および、$\alpha_k$ が $\lceil(R_M+1)/L\rceil-1$ か $\lceil(R_M+1)/L\rceil$ かの いずれかであることがわかる。

それは、$\alpha_1$,$\alpha_2$,...,$\alpha_L$ に、 高々 1 だけしか違いがないことを意味し、また、もちろん、

$$\sum_{k=1}^L\alpha_k=R_M+1$$

であるから、これらは、 $(R_M+1)$ を $L$ 個へできるだけ均等に分割する方法として、 (16) の $\alpha_k$ が 最適 (なものの一つ) であることを意味する。

これにより、$y_2$ の妥当性の保証が得られたことになる。