2 μ=1/2 の場合

この節では、(5) が通常の波動方程式に帰着できる $\mu =1/2$ の場合についてまず考察する。

通常の波動方程式

$$u_{tt}-u_{xx}=0\hspace{1zw}(t>0, 0<x<L)$$ (7)

の場合は、よく知られているように、 初期条件 (2) と境界条件 (3) だけでは足りず、 $x=0$ での境界条件 (6) も必要で、 それによりそれらを満たす解の存在と一意性が保証される。

今、$\mu =1/2$ の場合の (5) を考え、 $\eta=2\sqrt{x}$ とし、 $u(t,x)=\bar{u}(t,\eta)$ とすると、 $0<\eta<2\sqrt{L}$ で、

$$u_x=\bar{u}_\eta\frac{1}{\sqrt{x}},\hspace{1zw} u_{xx}=\bar{u}_{\eta\eta}\frac{1}{x}-\bar{u}_\eta\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

より、

$$xu_{xx}+\frac{1}{2}u_x =\bar{u}_{\eta\eta}-\bar{u}_\eta\frac... ...+\frac{1}{2}\bar{u}_\eta\frac{1}{\sqrt{x}} =\bar{u}_{\eta\eta}$$

となるので、(2), (3), (5), (6) は、

$$\left\{\begin{array}{l} \bar{u}_{tt}-\bar{u}_{\eta\eta}=0\h... ...e{1zw}\bar{u}(t,2\sqrt{L})=0\hspace{1zw}(t>0)\end{array}\right.$$

となり、これは通常の波動方程式 (7) の形なので、 これらの初期値境界値によって $\bar{u}(t,\eta)$ が一意に決まり、 それにより $u$ が $u(t,x)=\bar{u}(t,2\sqrt{x})$ と求まることになる。

つまり、$x=0$ での境界条件 (6) は、 少なくとも $\mu =1/2$ の場合は必要であることになる。