2 設定

まず問題を以下のように設定する。

$xy$ 平面上の $\mathrm{A}(L,H)$ ($L>0$, $H>0$) と 原点 $\mathrm{O}(0,0)$ を 通る曲線 $y=f(x)$ ($0\leq x\leq L$) に沿って O に向かって玉を初速度 0 で 滑らす (またはころがす) とき、 AO 間のどの場所からスタートしても O に至る時間が変わらないような 関数 $f(x)$ を求めよ (図 1)。

図 1: 設定

問題の設定より、明らかに

$$f'(x)>0\hspace{1zw}(0<x<L)$$ (1)

である必要があることに注意する。よって、$f(x)$ は増加関数となる。

[1] で見たように、この曲線上の任意の点 $\mathrm{P}(\alpha,f(\alpha))$ ($0<\alpha<L$) から初速 0 で スタートした玉がすべって O に至るまでの時間 $T$ は、

$$T = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^\alpha \sqrt{\frac{1+(f'(x))^2}{f(\alpha)-f(x)}}\,dx$$ (2)

で与えられる ($g$ は重力加速度)。 ころがる場合も、半径が十分に小さいと考えれば この定数倍となるだけだから、 結局 (2) が $\alpha$ によらずに一定になるような $f(x)$ を 求めればいいことになる。

$T$ が $\alpha$ に関して一定であることから、

$$\frac{dT}{d\alpha}=0$$

であり、通常はこの式から $f$ の微分方程式 (または積分方程式) を 導くのだが、(2) の被積分関数は $x=\alpha$ で特異性を持つので、 (2) は単純には微分できない。 よって別の方法を考える。