次へ: 4 曲線の長さの公式の説明 上へ: CD の溝の長さについて 前へ: 2 面積による考え方 (PDF ファイル: cd1.pdf)

3 らせんの弧長

溝は円のように回っていますが、実際には少しずつ半径が変化していて、 一周すると $d$ だけずれることになります。

最も内側からスタートするとして中心からの距離 $\rho$ と回転角 $\theta$ の関係を考えてみます。 角度の増加に対し均等に中心からの距離が増えると仮定すると、 $\rho$ は回転角 $\theta$ の一次式で表わされます。 一周で $d$ だけ増えるわけですから、 単位角度 (1 ラジアン) 辺りの $\rho$ の増加は $d/2\pi$ となります。 よって、$\theta=0$ のとき $\rho=r$ とすれば $\rho$ は

$$\rho=r+\frac{d}{2\pi}\theta$$ (2)

という式で表わされることになります。$\rho=R$ のときの $\theta$ は

$$R=r+\frac{d}{2\pi}\theta, \hspace{1zw} \theta = \frac{2\pi(R-r)}{d}$$

より、$\theta$ の動く範囲は $0\leq\theta\leq 2\pi(R-r)/d$ となります。

一般に曲線上の点が $\rho=f(\theta)$ で表わされているとき、 $\theta=a$ から $\theta=b$ の範囲の曲線の長さ $L$ は次の式で求められます。

$$L = \int_a^b\sqrt{f(\theta)^2+\{f'(\theta)\}^2} d\theta$$ (3)

この公式の説明は 4 節で行ないます。 この公式より、$L$ は以下のようになります。

$$L =\int_0^{2\pi(R-r)/d}\sqrt{\rho(\theta)^2+\{\rho'(\theta)... ...2\pi}\theta\right)^2 +\left(\frac{d}{2\pi}\right)^2} d\theta$$

この式を置換積分で変形していきます。

$$\begin{eqnarray*}L &=& \int_r^R\sqrt{\rho^2+\left(\frac{d}{2\pi}\right)^2} ... ...2)^2} \hspace{1zw}(\sin\phi=t, \sin\phi_1=t_1, \sin\phi_2=t_2)\end{eqnarray*}$$

ここで、

$$\begin{eqnarray*}\frac{1}{(1-t^2)^2} &=& \left\{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t... ...{1-t}+\frac{1}{4} \frac{1}{1+t} +\frac{1}{4} \frac{1}{(1+t)^2}\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int\frac{1}{(1-t^2)^2}dt} &=& \frac{1}{4} \frac... ...+\left(\frac{2\pi}{d}\rho\right)^2} +\frac{2\pi}{d}\rho\right)+C\end{eqnarray*}$$

となります。結局、

$${L=\frac{d}{2\pi}\int_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{(1-t^2)^2}}$$

$$= \frac{d}{4\pi} \left[ \frac{2\pi}{d}\rho\sqrt{1+\left(\frac{2\pi}... ...frac{2\pi}{d}\rho\right)^2} +\frac{2\pi}{d}\rho\right)\right]_{\rho=r}^{\rho=R}$$

$$= \frac{d}{4\pi} \left\{ \frac{2\pi}{d}R\sqrt{1+\left(\frac{2\pi}{d... ...)^2}}% {\displaystyle \frac{2\pi}{d}r+\sqrt{1+\left(\frac{2\pi}{d}r\right)^2}}$$ (4)

となることがわかります。 この式の最後の右辺を $L_2$ とします。

次へ: 4 曲線の長さの公式の説明 上へ: CD の溝の長さについて 前へ: 2 面積による考え方