4 余りの作る体

この余りについては、次のことが成り立つことが知られている (いずれも容易に証明ができるので考えてみるとよいだろう)。

a $\equiv$ p , b $\equiv$ q(mod x) のとき、

• a + b $\equiv$ p + q(mod x)
• a - b $\equiv$ p - q(mod x)
• a x b $\equiv$ p x q(mod x)

つまり、元の数字の和、差、積の余りは、 余りの和、差、積 (の余り) と同じである、ということになる。

曜日の数字は 0 から 6 まで進み、その次はまた 0 に戻る、 といった形で考えることになるが、 これは前に述べたように 7 で割った余りを考えることになる。

特に 7 のように素数で割った余りの数字にの場合は 割り算もできることが知られていて、このような余りの世界を 数学では 体 と呼んでいる。

7 の余りの積の表を表 6 に示すが、

表 6: 7 の余りの積の表

x	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

0 以外のどの列、どの行にも 0 から 6 のすべての数が現われることがわかる。 よって、a が 0 でなければ a x x $\equiv$ b(mod 7) という x が常に求まることになり、 この x がこの 7 の余りの世界では b ÷ a に相当することになる。

ただ、これが何に使えるかというとあまりいい例は思い浮かばないが、 無理矢理考えれば、次のような例がある。

問題:
あるプロ野球チームで、中 4 日 (5 日毎) に登板するピッチャーが 金曜日に登板したとすると、次に火曜日に登板するのは何日後のことか。

解答:
次の x 回目の登板は y = 5x 日後であるから、それが火曜日となるのは、

y + (金曜日) = y + 5 $$\equiv$$ 2(mod 7)

となるとき。よって、

$$\equiv$$

$$\equiv \equiv \equiv$$

$$\equiv \equiv \equiv$$

となることが上の表 6 からわかる。 よって、 x = 5, 12,... となり、最短で y = 5 x 5 = 25 日後、となる。