2 漸近展開とは

[1] によれば、漸近展開の定義は以下のようになる。

定義 1

$$f(x)\sim\phi_0(x)+\phi_1(x)+\cdots$$ (1)

(右辺は有限和、あるいは無限和) が、$f(x)$ の 漸近展開 であるとは、 各 $n (\geq 0)$ に対し、 $x\rightarrow\infty$ に関して 次の 2 つが成り立つことである。

1. $\phi_{n+1}(x)=o(\phi_n(x))$, すなわち、

   $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\phi_{n+1}(x)}{\phi_n(x)}=0$$ (2)

   
   
2. $f(x)-(\phi_0(x)+\phi_1(x)+\cdots+\phi_n(x))=O(\phi_{n+1}(x))$, すなわち、

   $$\frac{f(x)-(\phi_0(x)+\phi_1(x)+\cdots+\phi_n(x))}{\phi_{n+1}(x)}$$

   
   が $x\rightarrow\infty$ に関して有界

この (2) の $n=0$ の場合は $f(x)/\phi_0(x)$ が 有界であることを意味するが、$n=1$ の場合を考えると、 $(f(x)-\phi_0(x))/\phi_1(x)$ は有界で、 $\phi_1(x)/\phi_0(x)$ は 0 に収束するので、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\left\{\frac{f(x)}{\phi_0(x)}-1\rig... ...ac{f(x)-\phi_0(x)}{\phi_1(x)} \,\frac{\phi_1(x)}{\phi_0(x)} =0$$

となり、結局

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{\phi_0(x)}=1$$ (3)

となる。同様に、(1) の右辺が少なくとも $\phi_{n+1}$ まで 続いていれば、

$$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)-(\phi_0(x)+\phi_1(x)+\cdots+\phi_{n-1}(x))}{\phi_n(x)}=1$$

が成り立つ。

つまり、 $f(x)\sim\phi_0(x)$ は (3) の意味で $x\rightarrow\infty$ における第 1 近似、 $f(x)\sim\phi_0(x)+\phi_1(x)$ は、

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)-\phi_0(x)}{\phi_1(x)}=1$$

の意味で $x\rightarrow\infty$ における第 2 近似、 といったものを表していることになる。

しかし、特に $f(x)$ が $x\rightarrow\infty$ のときに 無限大に発散してしまう場合は、 テイラー展開などとは異なり、 誤差、すなわち左辺と右辺の差が $x\rightarrow\infty$ のときに小さくなる、 というわけではないことに注意する必要がある。

例えば、

$$f_1(x)=e^x\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)$$

の場合、第 1 近似は $f(x)\sim e^x/x\ (=\phi_0(x))$ であるが、 これは、

$$\frac{f_1(x)}{e^x/x} = 1+\frac{2}{x}\rightarrow 1\hspace{1zw}(x\rightarrow\infty)$$

を意味するのであって、

$$f_1(x)-\frac{e^x}{x}\rightarrow 0 \hspace{1zw}(x\rightarrow\infty)$$

を意味するのではない。実際、この場合は、

$$f_1(x)-\frac{e^x}{x}=\frac{2e^x}{x^2}\rightarrow\infty \hspace{1zw}(x\rightarrow\infty)$$

となっているから差は小さくはない。

また、$f(x)$ が $x\rightarrow\infty$ のときに有限であっても、 テイラー展開のように、

$$f(x)\sim a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\frac{a_3}{x^3}+\cdots$$

のようになる、すなわち $x=1/t$ として $f(1/t)$ の $t=+0$ での テイラー展開を考えればよい、というわけでもないことに注意する。 例えば、

$$f_2(x)=e^{-x}(x+2x^2)$$

の場合、 $x\rightarrow\infty$ のときに $f_2(x)\rightarrow 0$ であるが、

$$g(t)=f_2\left(\frac{1}{t}\right) = e^{-1/t}\left(\frac{1}{t}+\frac{2}{t^2}\right)$$

とすると、容易にわかるように $g(t)$ の $n$ 階微分は、 ある $(2n+2)$ 次の多項式 $h_n(T)$ を用いて、

$$g^{(n)}(t)=e^{-1/t}h_n\left(\frac{1}{t}\right)$$

と書けるから、

$$g^{(n)}(+0)=\lim_{t\rightarrow +0}e^{-1/t}h_n\left(\frac{1}{t}\right) = 0$$

となり、よって $g$ の $t=+0$ でのテイラー展開のすべての係数は 0 になってしまう。

また、漸近展開は一意的でないことにも注意する。 例えば上の $f_2(x)$ の場合、定義からすれば第 1 近似 ($\phi_0(x)$) は

$$f(x)\sim 2x^2e^{-x}$$

でも

$$f(x)\sim (2x^2+1)e^{-x}$$

でも構わない。もちろん、より単純な式の方を取るのが普通である。

さらに、漸近展開 (1) の右辺が無限和である場合、 それは収束する級数であるとは限らないことに注意する。 これは、3 節の最後に例を紹介する。