3 観測点の位置

まず、観測点 P の位置を式で表すことにする。

地球の自転に伴って、P はその点を通る緯線上を円運動する。 その緯線の円の中心を A とすると、A は地軸上にあり、 QP と $\omega$ のなす角は $\pi$/2 - $\theta$ であるから、 |$\overrightarrow{\mbox{\rm QA}}$| = r sin$\theta$ なので

$$\overrightarrow{\mbox{\rm QA}}$$ = (r sin$$\theta$$)$$\mbox{\boldmath$\omega$}$$

となる (図 3)。

図 3: A,P,Q を通る断面

次に $\overrightarrow{\mbox{\rm AP}}$ を表現するために、 このベクトルの乗る平面を表すベクトル、 すなわち自転軸に垂直な単位ベクトルを 2 つ取る。 それは $\omega$ = (0, sin$\alpha$, cos$\alpha$) に垂直なベクトルであるから、 e_x = (1, 0, 0) と

$$\mbox{\boldmath$\tau$}$$ = $$\mbox{\boldmath$\omega$}$$ x $$\mbox{\boldmath$e_x$}$$ = (0, sin$$\alpha$$, cos$$\alpha$$) x (1, 0, 0) = (0, cos$$\alpha$$, - sin$$\alpha$$)

を取ればよい。 なお、 $\tau$ = $\omega$ x e_x としているので、 この e_x から $\tau$ への回転の向きは、 緯線上を東経が増える方向に向いていて、 これは実際の地球の自転方向と同じ向きになっている (図 4)。

図 4: e_x から $\tau$ への回転方向

この緯線の半径は r cos$\theta$ であり、 P はこの円周上を等速に進んでいくから、 $\overrightarrow{\mbox{\rm AP}}$ はパラメータ t を用いて

$$\overrightarrow{\mbox{\rm AP}}$$ = r cos$$\theta$$($$\mbox{\boldmath$e_x$}$$cos t + $$\mbox{\boldmath$\tau$}$$sin t)

と表される。これは、t の増加に伴って、 e_x から $\tau$ の方向に回転するので、 2$\pi$ を 1 日と考えれば t はほぼ時刻のパラメータと見ることができる。

これらにより、 $\overrightarrow{\mbox{\rm OP}}$ は、

$$\overrightarrow{\mbox{\rm OP}} \overrightarrow{\mbox{\rm OQ}} \overrightarrow{\mbox{\rm QA}} \overrightarrow{\mbox{\rm AP}}$$ =

$$\rho \beta \beta \mbox{\boldmath$\omega$} \theta \mbox{\boldmath$e_x$} \mbox{\boldmath$\tau$} \theta$$ = (1)

と書けることになる。