6 指数分布の裏がポアソン分布となること

本節では、4 節とは逆に、指数分布 $e(1/\lambda)$ の裏が ポアソン分布 $P(\lambda)$ となることを考える。

4 節と同様に、最後にその事象が起きたところを時刻 0 として 考える。 時刻 0 から 1 回目の事象が起こるまでの時間を $d_1$、 $(j-1)$ 回目の事象から $j$ 回目の事象までの 時間を $d_j$ とする ($j=2,3,\ldots$)。

このとき、例えば 1 時間以内に 2 回の事象が収まる 確率 $\mathrm{Prob}\{d_1+d_2\leq 1\}$ は、 1 時間以内に起こる回数 $x$ で見ると $\mathrm{Prob}\{x\geq 2\}$ に対応する ( $\mathrm{Prob}\{x=2\}$ ではない)。よって、一般に、

  $$\mathrm{Prob}\{d_1+\cdots+d_m\leq 1\} = \mathrm{Prob}\{x\geq m\}$$ (7)

となる。

この左辺は、前節例 7 より独立な指数分布の和である ガンマ分布 $\mathop{\mathit{\Gamma}}(m,1/\lambda)$ に従うので、 その密度関数 $f_\lambda^{(m)}$ の 1 までの積分で表される。

  $$\mathrm{Prob}\{d_1+\cdots+d_m\leq 1\} =\int_0^1\lambda^m\frac{z^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda z}dz =\int_0^\lambda\frac{y^{m-1}}{(m-1)!}e^{-y}dy$$ (8)

この右辺を $K_m$ と書くことにする ($m\geq 1$)。同様にして、

$$\mathrm{Prob}\{d_1+\cdots+d_{m+1}\leq 1\} = K_{m+1}$$

となるから、(7) より、

  $$\mathrm{Prob}\{x=m\} = \mathrm{Prob}\{x\geq m\} - \mathrm{Prob}\{x\geq m+1\} = K_m - K_{m+1}$$ (9)

となる。ここで部分積分により、

$$K_{m+1} =\int_0^\lambda\frac{y^{m}}{m!}(-e^{-y})'dy =-\frac{\lamb... ...\lambda\frac{y^{m-1}}{(m-1)!}e^{-y}dy =-\frac{\lambda^{m}}{m!}e^{-\lambda}+K_m$$

となるので、よって (9) より

$$\mathrm{Prob}\{x=m\} = K_m - K_{m+1} = \frac{\lambda^{m}}{m!}e^{-\lambda} =p_\lambda(m)$$

の、ポアソン分布の確率関数 $p_\lambda$ の形になる ($m\geq 1$)。 $m=0$ のときは、(7) で $m=1$ として 1 から引けば、

$$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{x=0\} &=& \mathrm{Prob}\{d_1>1\} = 1-K_1 = ... ...y}dy = 1 +e^{-\lambda}-1 \\ &=& e^{-\lambda} = p_{\lambda}(0)\end{eqnarray*}$$

となる。

よって、指数分布 $e(1/\lambda)$ を時間間隔とする独立な事象の 1 時間の 回数の分布はポアソン分布 $P(\lambda)$ であることが示された。