3 不偏分散、標本分散の平均

本節では、不偏分散、標本分散の平均 (確率変数としての平均) を計算する。 そのために、平方和 $S$ の平均をまず求める。

(2) により、

$$E[S] = nE[\overline{X^2}-\overline{X}^2]$$

となるが、 $\overline{X}^2$ を

$$\overline{X}^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)^2 ... ...c{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nX_i^2 + \sum_{i\neq j}X_iX_j\right)$$

と展開すれば、$X_i$ は互いに独立なので $i\neq j$ のとき $E[X_iX_j]=E[X_i]E[X_j]$ であり、 よって、今後 $E[X_i^k]=\xi_k$ と書くことにすれば、

$$\begin{eqnarray*}E[S] &=& n\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE[X_i^2] -n\cdot\frac... ..._2 - \frac{1}{n}\cdot \Perm{n}{2}\xi_1^2 = (n-1)(\xi_2-\xi_1^2)\end{eqnarray*}$$

となる。ここで、$\Perm{n}{k}$ は $n$ 個から $k$ 個を取って並べる順列の数で、

$$\Perm{n}{k} = n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$$

である。一方、$X_i$ の分散 $\sigma^2$ は、

$$\sigma^2 = V[X_i] = E[(X_i-\mu)^2] = E[X_i^2]-E[X_i]^2$$

より、

$$\sigma^2 = \xi_2-\xi_1^2$$ (5)

となるので、結局、$S$ の平均は、

$$E[S] = (n-1)\sigma^2$$

であることがわかり、よって不偏分散、標本分散の平均は、

$$E[V_1] = \frac{1}{n-1}E[S] = \sigma^2, \hspace{1zw} E[V_1] = \frac{1}{n}E[S] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$$ (6)

となる。