2 用語

まずこの節では、前節でも出てきた用語等について確認しておく。 詳しくは、適当な微分の教科書 (偏微分の部分) を参照すること。 また、以後 $f(x,y)$ は、すべての実数 $x$, $y$ について定義されていて、 十分滑らかであるとする。

$f(x,y)$ が $(x,y)=(a,b)$ で 極大 (極小) であるとは、 $(a,b)$ の十分近くの $(a,b)$ とは異なるすべての $(x,y)$ に対して

$$f(x,y)<f(a,b)\hspace{1zw}(f(x,y)>f(a,b))$$

となることを言う。 また、$(x,y)=(a,b)$ で 最大 (最小) であるとは、 すべての $(x,y)$ に対して、

$$f(x,y)\leq f(a,b)\hspace{1zw}(f(x,y)\geq f(a,b))$$

であることを言う。 1 変数の場合と同じで極大、極小は局所的な性質であり、 最大、最小は大域的な性質である。

$(x,y)=(a,b)$ が $f(x,y)$ の 停留点 であるとは、

$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$$

が成り立つことを言う。これは 1 変数関数の場合の $g'(a)=0$ に相当し、 このような点が極の候補となる。

極の判別は、凸性を調べることで行うことができ、それについては たいていの教科書に書いてある次の事実を用いる。

命題 1

$A=f_{xx}(a,b)$, $B=f_{xy}(a,b)$, $C=f_{yy}(a,b)$ とするとき、

1. $A>0$ かつ $B^2-AC<0$ ならば $f(x,y)$ は $(x,y)=(a,b)$ で下に凸 (すなわち、$(x,y)$ 平面のどの方向に対しても下に凸)
2. $A<0$ かつ $B^2-AC<0$ ならば $f(x,y)$ は $(x,y)=(a,b)$ で上に凸 (すなわち、$(x,y)$ 平面のどの方向に対しても上に凸)
3. $B^2-AC>0$ ならば方向によって 凸性が入れ変わる

よって、まず停留点を求め、 そしてそこでの $A$, $B$, $C$ の値を求めて、 $B^2-AC$ と $A$ の符号で極の判別をする、というのが 標準的な方法であり、停留点では、 命題 1 の 1. であれば極小、 2. であれば極大、 そして 3. であれば 極ではない (鞍点 と呼ばれる) ことが言えることになる。