2 偏微分を用いた説明

まず、 $F(x,y)=f(x)g(y)$ ($x,y$ の 2 変数関数) とすると、 $f(t)g(t)=F(t,t)$ であり、よって

$$\{f(t)g(t)\}' = \frac{d}{dt}F(t,t)$$ (3)

となるが、2 変数関数の合成関数の微分法則

$${\frac{d}{dt}F(\phi(t),\psi(t)) = \frac{\partial F}{\partial x}\ \frac{dx}{dt} +\frac{\partial F}{\partial y}\ \frac{dy}{dt}}$$

$$= F_x(\phi(t),\psi(t))\phi'(t) + F_y(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)$$ (4)

より、

$$(fg)' = F_x\cdot 1+F_y\cdot 1 = \{(D_x+D_y)F\}(t,t) \hspac... ...rtial}{\partial x}, \ D_y = \frac{\partial}{\partial y}\right)$$ (5)

となる。今、

$$G(x,y) = (D_x+D_y)F(x,y) = F_x(x,y)+F_y(x,y)$$

とすると、(5) より $(fg)'(t)=G(t,t)$ なので、 再び (5) と同じ計算を行えば、

$$(fg)'' = \frac{d}{dt}G(t,t) = \{(D_x+D_y)G(x,y)\}(t,t) =\{(D_x+D_y)^2F(x,y)\}(t,t)$$

となる。ただし、この右辺は、

$$(D_x+D_y)^2F(x,y) = (D_x+D_y)\{(D_x+D_y)F(x,y)\}$$

を意味することとする。

この計算を繰り返せば、

$$(fg)^{(n)} = \frac{d^n}{dt^n}F(t,t) = \{(D_x+D_y)^nF(x,y)\}(t,t)$$ (6)

となることがわかる。 そして、偏微分の順序交換の定理

$$F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)$$

を用いれば、

$$\begin{eqnarray*}(D_x+D_y)^2F &=& (D_x+D_y)(D_x+D_y)F = (D_x+D_y)(F_x+F_y) ... ..._{yy} = F_{xx}+2F_{xy}+F_{yy} \\ &=& =(D_x^2+2D_xD_y+2D_y^2)F\end{eqnarray*}$$

のような展開ができること、すなわち一般に

$$(D_x+D_y)^nF(x,y) = \left(\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)D_x^kD_y^{n-k}\right)F(x,y)$$ (7)

となることが言える。

$F(x,y)=f(x)g(y)$ より、(7) の右辺は、

$${\left(\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\rig... ...=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)D_x^k f(x) D_y^{n-k}g(y)}$$

$$= \sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(y)$$ (8)

となるので、 結局 (6), (7), (8) より (1) が成り立つことがわかる。