2 証明

まずは (3) を示す。 $x\rightarrow\infty$ であるから、 $x>1$ としてよい。今、$n\leq x< n+1$ となる自然数 $n$ (= $x$ の整数部分) をとると、

  $$1+\frac{1}{n}\geq 1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{n+1}$$ (8)

となる。これらはいずれも 1 より大きいので、当然

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n <\left(1+\frac{1}{x}\right)^n \leq... ...x}\right)^x \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^x <\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

となって、よって、

  $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} >\left(1+\frac{1}{x}\right)^x >\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n$$ (9)

が成り立つことになる。 $x\rightarrow\infty$ の際、当然 $n\rightarrow\infty$ となり、

$$\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} &... ...tyle 1+\frac{1}{m}}} \ =\ \frac{e}{1} \ =\ e \\ && (m=n+1)\end{eqnarray*}$$

となるので、 (9) とはさみうちの原理により (3) が 示されたことになる。

次は (4) であるが、こちらは $x\rightarrow -\infty$ に 対して $y=-x-1$ ($x=-y-1$) とすると、 $y\rightarrow\infty$ で、

$$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x =\left(1-\frac{1}{y+1}\right)^{-y-1}... ...ht)^{-y-1} =\left(\frac{y+1}{y}\right)^{y+1} =\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y+1}$$

となるので、(3) より

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} =\lim_{... ...\infty}{\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\left(1+\frac{1}{y}\right)} =e\times 1 = e$$

となることがわかる。これで (4) が示されたことになる。