4 微分の公式の証明

無限小の方法を用いた場合、積の微分の公式の「証明」は以下のようになる。

$$d(fg) = f(x+dx)g(x+dx)-f(x)g(x)$$

であり、 $df=f(x+dx)-f(x)$ より $f(x+dx)=f(x)+df$ なので、

$$\begin{eqnarray*}d(fg) &=& (f(x)+df)(g(x)+dg)-f(x)g(x) \\ &=& f(x)g(x)+f(x)dg+g(x)df+dfdg-f(x)g(x) \\ &=& f(x)dg+g(x)df+dfdg\end{eqnarray*}$$

となるが、$dfdg$ は $f(x)dg+g(x)df$ より高位の無限小なので無視すれば、

$$d(fg) = f(x)dg+g(x)df$$

となる。よって、

$$\frac{d(fg)}{dx} = f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}$$

となる、といった形になる。

この証明は、2 節の最後に上げた方法と本質的に 同じであることがわかるだろう。 しかも展開により自然に積の微分の形が得られていることや、 最後の $dfdg$ が消える理由も、 むしろこちらの方がわかりやすく感じる人もいるかもしれない。

なお、$df=f'(x)dx$ であることに注意すれば、上の変形は、

$$\begin{eqnarray*}d(fg) &=& (f(x)+f'(x)dx)(g(x)+g'(x)dx)-f(x)g(x) \\ &=& f(x... ...x+f'(x)g(x)dx + f'(x)g'(x)(dx)^2 \\ &=& (f(x)g'(x)+f'(x)g(x))dx\end{eqnarray*}$$

のようにして ($(dx)^2$ は高位なので無視している)、 両辺を $dx$ で割る、とすることもできる。

同様に、商の微分の公式も以下のようにできる。

$$\begin{eqnarray*}d\left(\frac{f}{g}\right) &=& \frac{f(x+dx)}{g(x+dx)}-\frac{f... ...x)-f(x)dg}{g(x)(g(x)+dg)} = \frac{g(x)df-f(x)dg}{g(x)^2+g(x)dg}\end{eqnarray*}$$

この分母の $g(x)^2+g(x)dg$ では $g(x)dg$ は無限小なので $g(x)^2$ に 対して無視できるから、

$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(x)df-f(x)dg}{g(x)^2}$$

となり、よって両辺を $dx$ で割れば、

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

となる。

合成関数 $y=f(g(x))$ の微分の公式も、 $f(u+du)=f(u)+df = f(u)+f'(u)du$ を用いれば、

$$\begin{eqnarray*}d(f(g(x))) &=& f(g(x+dx))-f(g(x)) = f(g(x)+dg)-f(g(x)) \\ &=& f(g(x))+f'(g(x))dg - f(g(x)) = f'(g(x))dg\end{eqnarray*}$$

となり、よって、

$$\frac{d(f(g(x)))}{dx} = f'(g(x))\frac{dg}{dx} = f'(g(x))g'(x)$$

が得られる。