3 h からの解法

まずは $h=y''+y'+y$ に対する (2) から考えてみる。

この (2) は、 $h$ が 1 回微分して元に戻る関数であることを意味するので、 [1] により、

  $$h = y''+y'+y = C_1e^x$$ (4)

となる。

次に、 $y=p(x)e^{\alpha x}$ とおいて、(4) に代入すると、

$$\begin{eqnarray*}y' &=& p'e^{\alpha x} + p\alpha e^{\alpha x} = (p'+\alpha p... ... e^{\alpha x} \ =\ (p''+ 2\alpha p' + \alpha^2 p)e^{\alpha x}\end{eqnarray*}$$

より、

$$y''+y'+y = \{p'' + (2\alpha + 1)p' + (\alpha^2+\alpha+1)p\}e^{\alpha x} = C_1e^x$$

となるので、$\alpha = -1/2$ ととると $p'$ の項が消えて、

  $$p''+\frac{3}{4} p = C_1e^{3x/2}$$ (5)

となる。 この方程式を満たす $p$ を求めるために、[1] の 6 節と 同様の変形を行う。

定数 $\beta$ に対して、

$$\left\{\left(\frac{p}{\cos\beta x}\right)'\cos^2\beta x\right\}' = \left(\frac{p'\cos\beta x-p(-\beta\sin\beta x)}{\cos^2\beta x} \times\cos^2\beta x\right)'$$

$$= (p'\cos\beta x+\beta p\sin\beta x)'$$

$$= p''\cos\beta x +p'(-\beta\sin\beta x) +\beta p'\sin\beta x +\beta^2 p\cos\beta x$$

$$= (p''+\beta^2 p)\cos\beta x$$ (6)

となるので、(5) により、 $\beta=\sqrt{3}/{2}$ に対して

  $$\left\{\left(\frac{p}{\cos\beta x}\right)'\cos^2\beta x\right\}' = C_1e^{3x/2}\cos\beta x$$ (7)

となることがわかる。

これを積分していけばよいのであるが、右辺の積分はあまり易しくない。 微分で考えると、

$$\begin{eqnarray*}\left(e^{3x/2}\cos\beta x\right)' &=& \frac{3}{2}\,e^{3x/2}\c... ...eft(\frac{3}{2}\sin\beta x +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta x\right)\end{eqnarray*}$$

となるので、 右辺から $e^{3x/2}\sin\beta x$ を消去すれば、

$$\left(\sqrt{3} e^{3x/2}\cos\beta x +e^{3x/2}\sin\beta x\right)' = 2\sqrt{3} e^{3x/2}\cos\beta x$$

となるので、(7) は

$$\left\{\left(\frac{p}{\cos\beta x}\right)'\cos^2\beta x - \frac... ...qrt{3}} e^{3x/2} \left(\sqrt{3}\cos\beta x +\sin\beta x\right)\right\}' = 0$$

となるので、よって、

$$\left(\frac{p}{\cos\beta x}\right)'\cos^2\beta x - \frac{C_1}{2\sqrt{3}} e^{3x/2} \left(\sqrt{3}\cos\beta x +\sin\beta x\right) = C_2$$

となり、よって

  $$\left(\frac{p}{\cos\beta x}\right)' = \,\frac{C_1}{2\sqrt{3}}\,... ...{\sqrt{3}\cos\beta x+\sin\beta x}% {\cos^2\beta x} +\frac{C_2}{\cos^2\beta x}$$ (8)

となる。 ここで、

$$\left(\frac{e^{3x/2}}{\cos\beta x}\right)' = \frac{(3/2)e^{3x/2}\... ...sqrt{3}}{2}\,e^{3x/2}\frac{\sqrt{3}\,\cos\beta x+\sin\beta x}% {\cos^2\beta x}$$

なので、(8) は、

$$\left( \frac{p}{\cos\beta x} - \frac{C_1}{3} \frac{e^{3x/2}}{\cos\beta x} - \frac{C_2}{\beta}\tan\beta x\right)' = 0$$

と書くことができ、よって

$$\frac{p}{\cos\beta x} - \frac{C_1}{3} \frac{e^{3x/2}}{\cos\beta x} - \frac{2C_2}{\sqrt{3}}\tan\beta x = C_3$$

より、

$$p = \frac{C_1}{3} e^{3x/2} + \frac{2C_2}{\sqrt{3}}\sin\beta x +C_3\cos\beta x$$

よって、$y=pe^{-x/2}$ より、

  $$y = \frac{C_1}{3} e^x + \frac{2C_2}{\sqrt{3}} e^{-x/2}\sin\frac{\sqrt{3}}{2} x +C_3e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt{3}}{2} x$$ (9)

が得られる。 つまり、(1) の解は、

  $$e^x, \hspace{0.5zw}e^{-x/2}\sin\frac{\sqrt{3}}{2} x, \hspace{0.5zw}e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt{3}}{2} x$$ (10)

の線形結合であることになる。 最初のものは 1 回の微分で元に戻るので、 実質的には後者 2 つが 3 回微分して元に戻る関数である。

なお、もしこの最終的なおおまかな形を知っていれば、 あるいはこのような形ではないかと予想がつけば、

$$y=e^{\alpha x}\sin\beta x$$

のように置いて、これを (1) に代入して、 それが成立するように定数 $\alpha$, $\beta$ (実数) を求める、 という方法もある。

$$\begin{eqnarray*}y''' &=& (e^{\alpha x}\sin\beta x)''' \\ &=& (e^{\alpha x})... ...a x}\sin\beta x +\beta(3\alpha^2-\beta^2)e^{\alpha x}\cos\beta x\end{eqnarray*}$$

なので、

  $$\alpha(\alpha^2-3\beta^2) = 1, \hspace{0.5zw}\beta(3\alpha^2-\beta^2) = 0$$ (11)

であれば、 $y'''=y=e^{\alpha x}\sin\beta x$ になる。 (11) の後者より

$$\beta = 0,\hspace{0.5zw}\pm\sqrt{3} \alpha$$

となるが、$\beta=0$ の場合は (11) の 前者より $\alpha=1$, よって $y=e^x$ となる。

$\beta=\pm\sqrt{3} \alpha$ の場合は $-8\alpha^3=1$ より $\alpha = -1/2$, よって $\beta = \mp\sqrt{3}/2$ となり、(10) の 2 つ目のものが得られる。 同様に $y=e^{\alpha x}\cos\beta x$ とすれば (10) の 3 つ目のものが得られる。