3 部分積分を利用する方法

一般の $k$ に対して $J(k)$ を求める方法として、 (高校などで) 最も普通に紹介される方法は、 部分積分を利用して漸化式を作る方法だと思われる。

$k\geq 2$ に対して部分積分を用いると、

$$\begin{eqnarray*}J(k) &=& \int\cos^k x dx = \int\cos^{k-1} x\cos x dx = ... ... x)' dx &=& \cos^{k-1}x\sin x-\int(\cos^{k-1} x)'\sin x dx\end{eqnarray*}$$

となるが、合成関数の微分により $u=\cos x$ とすれば、

$$(\cos^{k-1} x)' = \frac{du^{k-1}}{dx} = \frac{du^{k-1}}{du} \frac{du}{dx} = (k-1)u^{k-2}(-\sin x)$$

$$= -(k-1)\cos^{k-2}x\sin x$$ (8)

となるから、

$$\begin{eqnarray*}J(k) &=& \cos^{k-1}x\sin x + (k-1)\int\cos^{k-2} x\sin^2 x d... ...x(1-\cos^2 x) dx &=& \cos^{k-1}x\sin x + (k-1)(J(k-2)-J(k))\end{eqnarray*}$$

となる。よって右辺の $-(k-1)J(k)$ を左辺に移項すれば

$$kJ(k)=(k-1)J(k-2)+\cos^{k-1}x\sin x$$

となるので、

$$J(k)=\frac{k-1}{k} J(k-2)+\frac{1}{k} \cos^{k-1}x\sin x\hspace{1zw}(k\geq 2)$$ (9)

が得られる。これに、

$$J(0)=\int 1 dx=x+C,\hspace{1zw} J(1)=\int \cos x dx = \sin x+C$$ (10)

を組み合わせれば、帰納的にすべての $J(k)$ が得られることになる (奇数の $k$ も含めて)。

例えば、$J(4)$, $J(5)$ は以下のようになる。

$$J(4) = \frac{3}{4} J(2)+\frac{1}{4} \cos^3 x\sin x$$

$$= \frac{3}{4} \left(\frac{1}{2} J(0)+\frac{1}{2} \cos x\sin x\right) +\frac{1}{4} \cos^3 x\sin x$$

$$= \frac{3}{8} x+\frac{3}{8}\cos x\sin x+\frac{1}{4}\cos^3 x\sin x+C,$$ (11)

$$J(5) = \frac{4}{5} J(3)+\frac{1}{5} \cos^4 x\sin x$$

$$= \frac{4}{5} \left(\frac{2}{3} J(1)+\frac{1}{3} \cos^2 x\sin x\right) +\frac{1}{5} \cos^4 x\sin x$$

$$= \frac{8}{15} \sin x+\frac{4}{15}\cos^2 x\sin x+\frac{1}{5}\cos^4 x\sin x+C$$ (12)

2 節の最後に述べたように $I(0,4)$ は $J(4)=I(4,0)$ から求めることができる。

$$\begin{eqnarray*}I(0,4) &=& I(0,4)(x) = -I(4,0)(t) = -J(4)(t) &=& -\f... ...ac{3}{8} x-\frac{3}{8}\sin x\cos x+\frac{1}{4}\sin^3 x\cos x+C_2\end{eqnarray*}$$

また、$I(6,4)$ なども、途中で上の $J(4)$ を使えば、

$$\begin{eqnarray*}I(6,4) &=& \int\cos^6 x\sin^4 x dx = \int\cos^6 x(1-\cos^2... ... -\frac{11}{80} \cos^7 x\sin x +\frac{1}{10} \cos^9 x\sin x + C\end{eqnarray*}$$

のように求められる。

この方法は、公式 (9) さえ作ってしまえば楽なのだが、 公式 (9) を作るために一旦一般の $k$ に対して部分積分を行わなければならない、 という点が難点ではないかと思われる。