2 基本事項

まずは、本稿の例を説明するのに必要な、固有値、固有ベクトルに関する 線形代数の基本事項をいくつか紹介する。 詳しくは、線形代数の本を参照のこと。

• $n$ 次正方行列 $A$ に対して、 $A\mbox{\boldmath$x$}=\alpha\mbox{\boldmath$x$}$ と なるスカラー $\alpha$、 $\mbox{\boldmath$0$}$ でないベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ が 存在するとき、$\alpha$ を固有値、 $\mbox{\boldmath$x$}$ をそれに対応する 固有ベクトルという。
• 固有値は、固有方程式 $\phi_A(x)=\vert xE-A\vert = 0$ の解であり、 固有ベクトルは、同次連立方程式 $(\alpha E-A)\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$0$}$ の 解で、固有値 $\alpha$ に対する固有ベクトルは必ず存在し、 $\alpha$ に対する固有ベクトル全体はベクトル空間をなす。
• 固有値は、一般には虚数となることもあり、 その場合は固有ベクトルの成分も複素数となる。 $A$ の成分が実数で固有値が実数なら、 固有ベクトルの成分も実数となる (本稿では主にこちらを扱う)。
• $\,{}^t\!{A}=A$ となる正方行列を対称行列、 $\,{}^t\!{A}A=E$ となる正方行列を直交行列 という。
• $\phi_A(x)=\phi_{\,{}^t\!{A}}(x)$ より、 $A$ と $\,{}^t\!{A}$ の固有値は等しい。
• $A$ の固有値 $\alpha$ に対して、 $\mbox{\boldmath$y$}A=\alpha\mbox{\boldmath$y$}$ となる行ベクトル $\mbox{\boldmath$y$}$ $(\neq\mbox{\boldmath$0$})$ を 左固有ベクトルと呼ぶ。$A$ の左固有ベクトルは、 $\,{}^t\!{A}$ の固有ベクトルの転置。
• 直交行列 $A=[\mbox{\boldmath$a$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$a$}_n]$ の 列ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}_1\,\ldots\,\mbox{\boldmath$a$}_n$ は $\mbox{\boldmath$R$}^n$ の 正規直交基底で、$A$ の行列式は $\vert A\vert=\pm 1$。
• 直交行列 $A$ による変換で、内積と長さは保存される。すなわち、 $(A\mbox{\boldmath$x$},A\mbox{\boldmath$y$})=(\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$})$, $\vert A\mbox{\boldmath$x$}\vert=\vert\mbox{\boldmath$x$}\vert$
• 3 次の直交行列 $A$ の固有値のうちの 1 つは $\vert A\vert$ であり、 $(A\mbox{\boldmath$x$})\times(A\mbox{\boldmath$y$})=\vert A\vert A(\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath$y$})$
  (cf. [4])。