6 N 次の場合

5 節の方法は、$N$ 次の正方行列にも拡張できるが、 固有方程式に重解があるとかなり煩雑になる。 本節では、まず固有方程式に重解がない場合の一般的な結果を紹介し、 重解がある場合も簡単な場合に限って説明をする。

まず、固有方程式の解を $\alpha_j$ ( $j=1,2,\ldots,N$) とし、 これらはすべて互いに異なるとする。 このとき、固有多項式 $f_A(x)$ は

$$f_A(x) = \prod_{j=1}^N(x-\alpha_j) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_N)$$

と因数分解されることになるが、 そこから $x-\alpha_j$ を抜いた $(N-1)$ 次式を $p_j(x)$ と書くことにする。

  $$p_j(x) = \frac{f_A(x)}{x-\alpha_j}\hspace{1zw}(j=1,2,\ldots,N)$$ (19)

これに対し、次の恒等式が成り立つことに注意する。

  $$x^{N-1}=\sum_{j=1}^N \frac{p_j(x)}{p_j(\alpha_j)}\alpha_j^{N-1}$$ (20)

これは、形式的には、

$$x^{N-1}= \sum_{j=1}^N \beta_j p_j(x)$$

と置いて、$x=\alpha_j$ とすると、$p_j(\alpha_j)$ 以外の右辺の項は 0 に なるので、

$$\alpha_j^{N-1}=\beta_jp_j(\alpha_j)$$

となり、そこから (20) が得られる。 一方、(20) の両辺はいずれも $(N-1)$ 次式で、 $N$ 個の異なる値 $x=\alpha_j$ ($1\leq j\leq N$) で両辺の値は一致するので、 等号が恒等的に成り立つことが保証される。

さて、$f_A(x)$ は、 $f_A(x)=(x-\alpha_j)p_j(x)$ と書けるので、 ケイリー・ハミルトンの公式より、

$$f_A(A)=(A-\alpha_jE)p_j(A)=O$$

となるから、

  $$Ap_j(A) = \alpha_jp_j(A)$$ (21)

が成り立つ。 これが前節の (12), (13) に対応する。 よってここから、$m\geq 1$ に対して

  $$A^mp_j(A) = \alpha_j^mp_j(A)$$ (22)

が得られ、これがすべての $j$ に対して成立する。

(20) は恒等式なので、 当然 $x$ を $A$ にした式も成立し、よって、

  $$A^{N-1}=\sum_{j=1}^N \frac{\alpha_j^{N-1}}{p_j(\alpha_j)}p_j(A)$$ (23)

となるが、両辺に $A^m$ をかけると (22) により、

$$A^{m+N-1} =\sum_{j=1}^N \frac{\alpha_j^{N-1}}{p_j(\alpha_j)}A^mp_j(A) =\sum_{j=1}^N \frac{\alpha_j^{m+N-1}}{p_j(\alpha_j)}p_j(A)$$

となり、よって任意の $m\geq N$ に対して、

  $$A^m = \sum_{j=1}^N \frac{\alpha_j^m}{p_j(\alpha_j)}p_j(A)$$ (24)

が成立することになる。 右辺の $p_j(A)$ は $A$ の $(N-1)$ 次式なので、 これで $A^m$ が $A$ の $(N-1)$ 次式として表されたことになる。 なお、これは $N=2$ では (16) の最後の式に対応している。

次は、$N=3$ の場合で、固有方程式に重解が含まれる場合を考える。 その場合の考察には、

• 上と同様の方法
• 重解が含まれない場合の、 解が $\alpha,\beta,\gamma$ の場合の $A^n$ を表す式
  $$A^n = \frac{\alpha^n}{p_\alpha(\alpha)}p_\alpha(A) +\frac{\beta^n}{p_\beta(\beta)}p_\beta(A) +\frac{\gamma^n}{p_\gamma(\gamma)}p_\gamma(A)$$
  で、 $\gamma\rightarrow\alpha$ の極限を取る方法
• 割り算による方法

などがあるが、ここでは、少し面倒だが上と同様の手法で考えてみる。

まずは、固有方程式の解が $x=\alpha,\alpha,\beta$ ( $\alpha\neq\beta$) の 場合を考える。

この場合、 $(A-\alpha E)^2(A-\beta E)=O$ となるので、 (22) と同様にして、

$$\begin{array}{l} A(A-\alpha E)(A-\beta E) = \alpha(A-\alpha E)(A-\beta E)\\ A(A-\alpha E)^2 = \beta(A-\alpha E)^2 \end{array}$$

から、$m\geq 0$ に対して

  $$\begin{array}{l} A^{m-1}(A-\alpha E)(A-\beta E) = \alpha^{m-1}(... ...)(A-\beta E)\\ A^{m-1}(A-\alpha E)^2 = \beta^{m-1}(A-\alpha E)^2 \end{array}$$ (25)

が得られる。1 本目の $\alpha$ 倍から 2 本目の $\beta$ 倍を引くと、

$$A^{m-1}(A-\alpha E)(\alpha-\beta)A =\{\alpha^m(A-\beta E)-\beta^m(A-\alpha E)\}(A-\alpha E)$$

より、

  $$A^m(A-\alpha E) =\frac{(A-\alpha E)}{\alpha-\beta} \{\alpha^m(A-\beta E)-\beta^m(A-\alpha E)\}$$ (26)

が $m\geq 1$ に対し得られるが、これは $m=0$ でも成立する。

ここで、もし $\alpha=0$ ならば、少し戻って (25) の 2 本目の式から、 $A^{m+1}=\beta^{m-1}A^2$ となり、 よって $A^n=\beta^{n-2}A^2$ ($n\geq 2$) となることがわかる。

$\alpha\neq 0$ の場合は、 (26) の左辺を展開して $\alpha^{m+1}$ で両辺割ると、

$$\frac{A^{m+1}}{\alpha^{m+1}}-\frac{A^m}{\alpha^m} =\frac{(A-\alph... ...)} \left\{(A-\beta E)-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^m(A-\alpha E)\right\}$$

となり、これを $m=0$ から $m=n-1$ まで加えると、

$$\frac{A^n}{\alpha^n}-E = \frac{(A-\alpha E)}{\alpha(\alpha-\beta)... ...\{n(A-\beta E) -\frac{(\beta/\alpha)^n-1}{\beta/\alpha-1}(A-\alpha E)\right\}$$

となり、よって

	$$A^n$$	$=$	$$\alpha^n E+ \frac{(A-\alpha E)}{\alpha-\beta} \left\{n\alpha^{n-1}(A-\beta E) -\frac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}(A-\alpha E)\right\}$$
		$=$	$$\alpha^n E+ \frac{n\alpha^{n-1}}{\alpha-\beta}(A-\alpha E)(A-\beta E) -\frac{\alpha^n-\beta^n}{(\alpha-\beta)^2}(A-\alpha E)^2$$	(27)

となる。これが、$\alpha$ が重解の場合の式となる。

さらに、$\alpha$ が $f_A(x)=0$ の三重解、すなわち $f_A(x)=(x-\alpha)^3$ の 場合は、

$$A(A-\alpha E)^2 = \alpha(A-\alpha E)^2$$

より、

$$A^m(A-\alpha E)^2 = \alpha^m(A-\alpha E)^2$$

しか得られないが、左辺を一つ展開して $\alpha^{m+1}$ で割ると、

$$\left(\frac{A^{m+1}}{\alpha^{m+1}}-\frac{A^m}{\alpha^m}\right)(A-\alpha E) = \frac{1}{\alpha}(A-\alpha E)^2$$

となるので、これを $m=0$ から $m=n-1$ まで加えると、

$$\left(\frac{A^{n}}{\alpha^{n}}-E\right)(A-\alpha E) = \frac{n}{\alpha}(A-\alpha E)^2$$

が得られる。さらにこの $n$ を $m$ として、 両辺を $\alpha$ で割って左辺を展開すると、

$$\frac{A^{m+1}}{\alpha^{m+1}}-\frac{A^m}{\alpha^m} -\frac{A}{\alpha}+E = \frac{m}{\alpha^2}(A-\alpha E)^2$$

となるので、再び $m=0$ から $m=n-1$ まで加えると、

$$\frac{A^{n}}{\alpha^{n}}-E-n\left(\frac{A}{\alpha}-E\right) =\frac{n(n-1)}{2\alpha^2}(A-\alpha E)^2$$

となり、結局

  $$A^n = \alpha^n E+n\alpha^{n-1}(A-\alpha E) +\frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2}(A-\alpha E)^2$$ (28)

が成り立つ。 なお、これは $n\geq 3$ で成り立つが、$n=0,1,2$ でも成立する。