3 対数関数

対数関数の導関数の公式

$$(\log_e x)' = \frac{1}{x}$$ (10)

$$(\log_a x)' = \frac{1}{x\log_e a}\hspace{0.5zw}(a>0, a\neq 1)$$ (11)

にも 2 節と同様のスケール変換による説明は可能であるが、 ここでは 2 節の結果と逆関数の微分を利用する。

$y=\log_a x$ は $x=a^y$ という関係と同じであり、 よって $y=f(x)=\log_a x$ のグラフの横軸と縦軸を入れかえると $x=g(y)=a^y$ のグラフになる。 よって、$x=g(y)$ の $(x,y)=(q,p)$ での傾き $g'(q)$ は、 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(x,y)=(p,q)$ での傾き $f'(p)$ の逆数に 等しいことがわかる (図 2)。

図 2: $y=f(x)$ と $x=g(y)$ のグラフと傾き

よって $p=g(q)=a^q$、および (3) により、

$$f'(p) = \frac{1}{g'(q)} = \frac{1}{a^q\log_e a} = \frac{1}{p\log_e a}$$

となり、よって (11) が得られる。 また、この式で $a=e$ とすれば (10) も得られる。