10 その他の性質について

その他、今までの考察でわかる F_k , G_k に関する性質を簡単に述べておく。

7 節、9 節の議論により、 F_k , G_k の分子に表われる多項式 $\hat{{F}}_{k}^{}$ , $\hat{{G}}_{k}^{}$ は

$$\hat{{F}}_{k}^{} \Im \hat{{G}}_{k}^{} \Re$$ (16)

であることがわかる。 これは、3 項漸化式 (15) の、 初期値 (16) を満たす一般項でもある。

(17) から、 $\hat{{F}}_{k}^{}$ , $\hat{{G}}_{k}^{}$ は一つおきの次数の項しか持たず、 よって必ず奇関数か偶関数のどちらかになることもすぐにわかる。 特に、次のことが言える:

• 奇関数 t^2msin t , t^2m-1cos t のラプラス変換は偶関数
• 偶関数 t^2m-1sin t , t^2mcos t のラプラス変換は奇関数

なお、ここで s , t に関する「奇関数」「偶関数」という言葉を用いているが、 厳密に言えば、t の関数は t > 0 でしか定義されておらず、 またそのラプラス変換も s の関数としては s > 0 でしか意味を持たないので、 s = 0 での対称性を意味する「偶関数」「奇関数」という言葉は適切ではないが、 ここではそれらの式を「自然に実数全体に拡張したものを考えれば」 という意味で用いることにする。

また、F_k , G_k の分子は (17) の定数倍であるから

• F_k = (s の k 次式)/ (s² +1)^k+1
• G_k = (s の (k + 1) 次式)/ (s² +1)^k+1

もわかる。

そして、例えば F₅ は、

$${\frac{{240s(3s^4-10s^2+3)}}{{(s^2+1)^6}}} {\frac{{240s(3(Y-1)^2-10(Y-1)+3)}}{{Y^6}}}$$ F₅ =

= 240s(3Y^-4 -16Y^-5 +16Y^-6)

$$\left\{\vphantom{\frac{3}{(s^2+1)^4}-\frac{16}{(s^2+1)^5} +\frac{16}{(s^2+1)^6}}\right. {\frac{{3}}{{(s^2+1)^4}}} {\frac{{16}}{{(s^2+1)^5}}} {\frac{{16}}{{(s^2+1)^6}}} \left.\vphantom{\frac{3}{(s^2+1)^4}-\frac{16}{(s^2+1)^5} +\frac{16}{(s^2+1)^6}}\right\}$$ =

のように変形できる。 このようにして、結局以下のような形に変形できることがわかる:

F2m-1	= s $${\frac{{\mbox{$Y$ の $(m-1)$ 次式}}}{{Y^{2m}}}}$$	= s$$\left(\vphantom{\frac{a_1}{Y^{m+1}}+ \cdots + \frac{a_{m}}{Y^{2m}}}\right.$$$${\frac{{a_1}}{{Y^{m+1}}}}$$ + ... + $${\frac{{a_{m}}}{{Y^{2m}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{a_1}{Y^{m+1}}+ \cdots + \frac{a_{m}}{Y^{2m}}}\right)$$,
F2m	= $${\frac{{\mbox{$Y$ の $m$ 次式}}}{{Y^{2m+1}}}}$$	= $${\frac{{b_1}}{{Y^{m+1}}}}$$ + ... + $${\frac{{b_{m+1}}}{{Y^{2m+1}}}}$$,
G2m-1	= $${\frac{{\mbox{$Y$ の $m$ 次式}}}{{Y^{2m}}}}$$	= $${\frac{{c_1}}{{Y^{m}}}}$$ + ... + $${\frac{{c_{m+1}}}{{Y^{2m}}}}$$,
G2m	= s $${\frac{{\mbox{$Y$ の $m$ 次式}}}{{Y^{2m+1}}}}$$	= s$$\left(\vphantom{\frac{d_1}{Y^{m+1}}+ \cdots + \frac{d_{m+1}}{Y^{2m+1}}}\right.$$$${\frac{{d_1}}{{Y^{m+1}}}}$$ + ... + $${\frac{{d_{m+1}}}{{Y^{2m+1}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{d_1}{Y^{m+1}}+ \cdots + \frac{d_{m+1}}{Y^{2m+1}}}\right)$$

実際にこの係数を求めるのは容易ではないが、 これらをこの形に変形すること自体は意味があり、 有理関数のラプラス逆変換の計算に利用できる。 それについては、また別の機会にまとめる予定である。