5.2 L と全変動の関係

この節では、$L(J)$ や $Q(J)$ に現れるような波の評価と、 $U^\Delta$ の変動との関係を考える。

今、ひとつの Riemann 問題の解

$$\varepsilon = \alpha(U_L,U_R)\hspace{1zw}(U_L,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U}))$$

に対し、シュワルツの不等式、および (2.14) により、

$$\sum_{j=1}^N\vert\varepsilon _j\vert \leq \sqrt{N}\vert\va... ...rt \leq \sqrt{N}M_1\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U(t,\cdot)$$ (5.54)

となる。逆に $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U(t,\cdot)$ は、 連続波 (膨張波) の変動と不連続波 (衝撃波、および接触不連続) の段差からなり、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U(t,\cdot) =\sum_{\mbox{\... ...) +\sum_{\mbox{\scriptsize$k$-不連続波}}\vert U_k-U_{k-1}\vert$$ (5.55)

と書けるが、膨張波は $C^1$ 関数であるから、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{0\leq\xi\leq\varepsilon _j} ... ...=\int_0^{\varepsilon _j}\vert\hat{U}_j'(\xi;U_{j-1})\vert d\xi$$

が言え (A 節参照)、 $\hat{U}_j'$ は、(2.13) より $\nabla_\varepsilon T$ で表現され、 それは (2.15) により $M_2$ で押さえられるから、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _{0\leq\xi\leq\varepsilon _j} \hat{U}_j(\xi; U_{j-1})\leq M_2\vert\varepsilon _j\vert$$ (5.56)

と押さえられることになる。

$k$-不連続解に対しても、

$$\begin{eqnarray*}\vert U_k-U_{k-1}\vert &=& \vert\hat{U}_k(\varepsilon _k;U_{k... ...{\varepsilon _k}\left\vert\hat{U}_k'(\xi;U_{k-1})\right\vert d\xi\end{eqnarray*}$$

より、

$$\vert U_k-U_{k-1}\vert\leq M_2\vert\varepsilon _k\vert$$ (5.57)

と評価できる。よって、 (5.4), (5.5), (5.6) により、 Riemann 問題の解 $U(t,x)$ に対して、

$$\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U(t,\cdot)\leq M_2\sum_{j=1}^N\vert\varepsilon _j\vert\leq M_2\sqrt{N}\vert\varepsilon \vert$$ (5.58)

が成り立つ。

(5.3), (5.7) により、 Riemann 問題の解に対し、 $\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U(t,\cdot)$ と $\sum\vert\varepsilon _j\vert$ と $\vert\varepsilon \vert$ は 同等であることがわかり、 よって、$L(J)$ は、$J$ 上での $U^\Delta$ の全変動を評価していることになる。 例えば、$L(O)$ は、(5.3) により

$$\begin{eqnarray*}L(O) &\leq & \sqrt{N}M_1\sum_{\mbox{\scriptsize$(\vert m\vert... ..., $m$ は奇数}} \vert U_0((m+1)\Delta x)-U_0((m-1)\Delta x)\vert\end{eqnarray*}$$

であるので、明らかに

$$L(O)\leq \sqrt{N}M_1\mathop{\mathrm{TV}}\nolimits _R U_0$$ (5.59)

が言える。