4.4 CASE 2

次に、p139 の CASE 2 の (7.64) を考える。 $\sigma_\alpha(t)$ が $t=\tau$ で他の front $\sigma_\beta$ と衝突するとし、 このとき、

  $$\Delta V_\alpha(\tau)=-\vert\sigma_\beta\vert, \hspace{1zw}\Del... ...igma_\alpha(\tau) \leq M_1\vert\sigma_\alpha(\tau-)\vert\vert\sigma_\beta\vert$$ (32)

を示す。 まず、$t=\tau$ の前後で $\sigma_\alpha(t)$ の符号は変わらずに 正のままなので、 $\sigma_\beta$ 以外の項は $\Delta V_\alpha(\tau)$ には現れず、 よって (32) の 1 つ目は正しい。 (32) の 2 つ目は、 (7), (11), (23) より、

$$\begin{eqnarray*}\Delta Q(\tau) &\leq & \vert\sigma_\alpha(\tau-)\sigma_\beta\... ... &\leq& - \frac{1}{2}\vert\sigma_\alpha(\tau-)\sigma_\beta\vert\end{eqnarray*}$$

となって成り立つことがわかる。

(32) の 3 つ目は、[A-1] の場合は Lemma 7.2 (i) より、

$$\Delta\sigma_\alpha(\tau) = \sigma_\alpha(\tau+)-\sigma_\alpha(\t... ...)-\sigma_\alpha(\tau-)\vert \leq M_1\vert\sigma_\alpha(\tau-)\sigma_\beta\vert$$

となって成り立つ。

[A-2] の場合は $\sigma_\alpha(t)>0$ より $\sigma_\beta<0$ で、 よって Lemma 7.2 (ii) より、

$$\begin{eqnarray*}\Delta\sigma_\alpha(\tau) &=& \sigma_\alpha(\tau+)-\sigma_\al... ...ta\vert \ &\leq& M_1\vert\sigma_\alpha(\tau-)\sigma_\beta\vert\end{eqnarray*}$$

となる。

[S-1], [S-3] の場合は $\Delta\sigma_\alpha(\tau)=0$ で、 [S-2] の場合は $\sigma_\beta<0$ で、 よって $\Delta\sigma_\alpha(\tau)=\sigma_\beta<0$ となるから、 よってすべての場合で (32) の 3 つ目が成り立つことがわかる。

これで、(32) がすべて成り立つことになる。

今、$t_0\leq t<t_1$ に対して

  $$\eta(t)=\sigma_\alpha(t)e^{M_1(V_\alpha(t)+C_0Q(t))} \hspace{1zw}(>0)$$ (33)

と定義すると、衝突点以外では $\eta(t)$ は定数で、 衝突点 $t=\tau$ で CASE 1 なら (26) より、

  $$\frac{\eta(\tau+)}{\eta(\tau-)} = \frac{\sigma_\alpha(\tau+)}{\sigma_\alpha(\tau-)} e^{M_1(\Delta V_\alpha(\tau)+C_0\Delta Q(\tau))} \leq 1$$ (34)

となるし、CASE 2 なら (32)、 および $\sigma_\alpha(\tau-)>0$ より、

  $$\frac{\eta(\tau+)}{\eta(\tau-)} = \left(1+\frac{\Delta\sigma_\... ...au)} \leq (1+M_1\vert\sigma_\beta\vert) e^{-M_1\vert\sigma_\beta\vert} \leq 1$$ (35)

となるので、$\eta(t)$ は非増加であることがわかり、よって (21), (23), (24) より、

  $$\eta(t) \leq \eta(t_0+) = \sigma_\alpha(t_0)e^{M_1(V_\alpha(t_... ...M_1\Upsilon(t_0)} \leq \delta e^{M_1\Upsilon(0+)} \leq \delta e^{M_1\delta_2}$$ (36)

となり、よって、

  $$\sigma_\alpha(t)\leq \eta(t)\leq \delta e^{M_1\delta_2}$$ (37)

が得られる。

この (37) は [1] の (7.61) (p138) に 対応するが、これは、定義 7.1 (p125) の 3. (7.8) の、膨張 front の サイズ $\sigma_\alpha$ が

$$\sigma_\alpha\in]0,\varepsilon]$$

であることを保証するものになる。 $\delta$ を小さく変更すれば、 もちろんそれに伴い近似解の構造もだいぶ変わってしまうが、 それとは無関係に (37) は常に成立するので、 よって、$\varepsilon>0$ に対して、$\delta$ を

  $$0<\delta e^{M_1\delta_2}\leq \varepsilon$$ (38)

となるようにとれば確かに (7.8) が満たされる。 それは、定理 7.2 (p127) の一部でもあるが、 それについてはまた後 (5.9 節) で説明する。