3.8 $Q$ の評価: [S-2] の場合

次は [S-2] の場合を考える (p131 Figure 7.8)。

3.6 節で述べたように、 接触不連続 front 同士はぶつからないとしているので、この場合は真性非線形で、 よって $\sigma'_i=\sigma'_j$ と $\sigma''_j$ の少なくとも一方は 衝撃 front であり、 $\sigma_k$ は、 $\bar{\sigma}_j=\sigma'_j+\sigma''_j$ と $\sigma_{np}$ となる。 これも $\sigma'_j$, $\sigma''_j$, $\bar{\sigma}_j$ の符号で場合分けすれば、 3.6 節の 1. から 6. までのうち 2. を 除く 5 通りとなる。1. の場合は、

$$Sw(\bar{\sigma}_j) = Sw(\sigma'_j)-\vert\sigma''_j\vert = Sw(\sigma''_j)-\vert\sigma'_j\vert$$

より、

$$\begin{eqnarray*}I_j &=& \vert\bar{\sigma}_j\vert Sw(\bar{\sigma}_j) -\vert\s... ...a'_j-\sigma''_j+\sigma'_j+\sigma''_j)Sw(\bar{\sigma}_j) =\ 0\end{eqnarray*}$$

となって、よって、

$$\begin{eqnarray*}Q(\tau+)-Q(\tau-) &=& I_j + \vert\sigma_{np}\vert Sw(\sigma_{... ...\vert\sigma'_j\sigma''_j\vert+\vert u_r-\tilde{u}_r\vert V(\tau-)\end{eqnarray*}$$

となるので、Lemma 7.2 (iii) より (7.56') が得られる。

同様に、4. で $\bar{\sigma}_j\neq 0$ の場合は

$$Sw(\bar{\sigma}_j) = Sw(\sigma''_j)-\vert\sigma'_j\vert \leq Sw(\sigma'_j)-\vert\sigma''_j\vert$$

6. で $\bar{\sigma}_j\neq 0$ の場合は

$$Sw(\bar{\sigma}_j) = Sw(\sigma'_j)-\vert\sigma''_j\vert \leq Sw(\sigma''_j)-\vert\sigma'_j\vert$$

なので、どちらも

$$I_j \leq (\vert\bar{\sigma}_j\vert-\vert\sigma'_j\vert-\vert\sig... ..._j) \leq \vert\bar{\sigma}_j-\sigma'_j-\sigma''_j\vert Sw(\bar{\sigma}_j) = 0$$

となり、また $\bar{\sigma}_j=0$ の場合も当然 $I_j\leq 0$ となるので、 いずれの場合も 1. の場合と同様にして (7.56') が得られる。

3. の場合は

$$Sw(\bar{\sigma}_j) = Sw(\sigma'_j)-\vert\sigma''_j\vert \geq Sw(\sigma''_j)-\vert\sigma'_j\vert$$

となるが、符号を考えれば

$$\begin{eqnarray*}I_j &=& (\vert\bar{\sigma}_j\vert-\vert\sigma'_j\vert)S(\ba... ...bar{\sigma}_j)+Sw(\sigma''_j)-\vert\sigma'_j\vert) \ &\leq & 0\end{eqnarray*}$$

となるので (7.56') は成立する。

5. の場合も 3. の $\sigma'_j$ と $\sigma''_j$ を入れかえるだけなので、 (7.56') が成り立つことがわかる。